Brauche Hilfe in einer Matheaufgabe danke?
Eine Lotosblume bedeckt zum jetzigen Zeitpunkt eine Teichfläche von 0,01m2. Die bedeckte Teichfläche verdreifacht sich alle zwei Monate. Nach welcher Zeit (nach Beginn der Beobachtung) beträgt die bedeckte Teichfläche 10m2?
0,01 mal x^2=3
Wurzel aus 2 und in der Wurzel 3.
Ist das so richtig?
3 Antworten
Wir wissen, dass sich unsere Anfangsfläche, welche 0,01 Quadratmeter groß ist, alle zwei Monate verdreifacht.
Ein exponentielles Wachstum kann mit der folgenden allgemeinen Funktionsgleichung dargestellt werden:
Hierbei ist t die Zeit, a der Anfangsbestand und x der Wachstums- oder Zerfallsfaktor.
Nun können wir eine Funktionsgleichung erstellen, welche auf unseren Sachverhalt abgestimmt ist, da wir wissen, dass der Anfangsbestand a = 0,01 Quadratmeter groß ist und der Wachstumsfaktor 3 beträgt.
t ist hierbei die Zeit, wobei wir als Exponent t/2 wählen, damit wir die Rate für einen Monat einfacher errechnen können.
Da wir nun wissen wollen, zu welchem Zeitpunkt die Fläche des Teichs 0,1 Quadratmeter beträgt, müssen wir für den Funktionswert einfach 10 Quadratmeter einsetzen und die Gleichung nach t auflösen.
Der erste Schritt ist hierbei, dass wir durch 0,01 dividieren.
Nun wenden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 3 an.
Nun wird die Potenzregel angewandt, welche es uns erlaubt, dass wir den wir den Logarithmus zur Basis 3 mit dem Numerus 3^t/2 mit t/2 multiplizieren dürfen, wobei der Exponent dann wegfällt.
Nun multiplizieren wir das Ganze noch mit 2, wobei wir dann die Gleichung erfolgreich nach t aufgelöst haben und somit unser Ergebnis erhalten.
Das heißt, dass die bedeckte Teichfläche nach ungefähr 12,575 Monaten 10 Quadratmeter beträgt.
Damit man sich das Ganze nochmals besser vorstellen kann, kann man sich das Ganze natürlich auch graphisch angucken.
Der Punkt A repräsentiert hierbei unser Ergebnis für y = 10.
~Johannes
Finde ich interessant. Werde ich das nächste Mal berücksichtigen.
Ich habe aber nochmals in meinen Unterlagen von letztem Schuljahr nachgeguckt und dort stand auch in der allgemeinen Formel t als Exponent.
Ich denke für die Schule ist das ziemlich egal, ob da t oder z steht.
Und durch die 2 Monate im Nenner und die Tatsache, dass die Einheit am Ende in Klammern steht, sollte das eigentlich okay sein.
Man könnte dann davon ausgehen, dass in einem nicht sichtbaren Zwischenschritt im Nenner 1 Monat stand.
~Johannes
Ich seh gerade, dass du Moderator bist.
Wenn du willst, dann kannst du meinen Beitrag gerne korrigieren, damit alles seine fachliche Richtigkeit hat.
Prinzipiell paar Wörtchen, so lange die Formeln nicht kaputt gehen.
~Johannes
Wenn ich ehrlich bin, mache ich vom Moderator-sein kaum je Gebrauch.
Ich kann als solcher (als Usermod Junior jedenfalls) eine Antwort oder einen Kommentar AFAIK aber auch nicht korrigieren, sondern nur verstecken, wenn ich ihn für unangemessen halte.
f(x) = 0.01 * (1 + 200 / 100) ^ (t / 2)
10 = 0.01 * 3 ^ (t / 2)
1000 = 3 ^ (t / 2)
1000 ^ 2 = 3 ^ t
t = ln(1000000) / ln(3)
t = 12,5754196457363... Monate
nach ca 13 Monaten
Wobei 'x^{t}' etwas unglücklich formuliert ist. Im Exponenten sollte immer etwas Dimensionsloses stehen, etwa t/Tₓ, wobei Tₓ die Zeit ist, in der sich etwas um den Faktor x vermehrt hat.
Allerdings lässt sich jegliche Exponentialfunktion auch als natürliche Exponentialfunktion schreiben, deren Basis
e = 2,71828...
ist (die Zahl ist transzendent):
x^{t/Tₓ} = e^{ln(x)·t/Tₓ}.
Bei Ableitungen oder Integration kann das wichtig werden.