Brauche Hilfe bei Mathe: Definitions und Wertebereich bestimmen, Funktionsgleichung aufstellen. Anleitung anhand von Beispielen würde helfen. ?
Hab mit schon sämtliche online Anleitungen durchgelesen aber habe es immer noch nicht so ganz verinnerlicht. Wäre dankbar wenn mir jemand anhand von den eingeramten Beispielen erklären würde was ich machen muss.
Brauche doch den Scheitelpunkt oder nicht? Aber habe doch keine ax^2 + bx + c Form. Wie soll ich den dann herausfinden?
1.) c,d,e
Von der 2.) a,b,c,g
Mit freundlichen Grüßen
Bg13
1 Antwort
zu 1.: höchstwahrscheinlich ist gemeint, nach y auflösen.
Bei c) ist zusätzlich zu beachten, dass ein Wurzelzeichen die nichtnegative Wurzel bedeutet.
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2. a)
Terme unter Wurzeln dürfen nicht negativ werden, müssen also ≥ 0 sein. Hier:
x-2 ≥ 0
(nach x auflösen ergibt den Definitionsbereich: D = {x ∈ ℝ | x ≥ ...})
Wertebereich:
Was ist der kleinste Wert, den eine Quadratwurzel annehmen kann (Vorzeichen s. o.)? Gibt es im Definitionsbereich ein x, sodass dieser Wert auch tatsächlich angenommen wird?
Gibt es eine obere Schranke für Quadratwurzeln?
2. b)
Welche Einschränkungen für Vorzeichenumkehr sind denkbar (falls überhaupt welche)? Gibt es eine Umkehrfunktion?
2. c)
Der Funktionsterm (in x) ist eine ganzrationale Funktion, ist also auf ganz ℝ definiert.
Tipp: auch 0 ist ein zulässiger Vorfaktor.
2 x² - 3 = 2 x² + 0 x - 3
(In diesem Fall kann man auch einfacher vorgehen)
2. g)
Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Der Wertebereich ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
Kann ich selber auch zwei werte für den Definitionsbereich herausbekommen bei den Aufgaben und allgemein?? Also nicht zb. xER(x<2) sondern xER (2;2)?
Ja, es ist möglich, dass der Definitionsbereich nur endlich viele Punkte enthält. Für mehr als einen Punkt ist es aber nicht leicht, dazu eine Aufgabenstellung zu finden. (Für genau einen Punkt ist es leicht, z. B. y = √(2+x) + √(2-x) )
Da hier in der Regel nach dem maximal möglichen Definitionsbereich (als Teilmenge von ℝ) gefragt wird (wenn es nicht explizit dabeisteht), muss man dann nachweisen, dass nur für endlich viele Punkte der Term definiert ist.
(In Internet-Foren gilt fast immer das "du"; ich werde mich auch daran halten.)
Hast du nur die genannten Aufgabenteile zu erledigen oder wie hast du die anderen Aufgabenteile gelöst?
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Ermittlung des Definitionsbereiches: Nachschauen, für welche x der Term überhaupt definitert ist. Das Auflösen nach x ist nur bei Teilausdrücken / verwendeten Funktionen notwendig, die nicht für alle reellen Zahlen definiert sind, insbesondere die Wurzel.
Wenn da ein x^2 steht, ist das natürlich für alle x ∈ ℝ definiert, hier brauchen wir nicht weiter nachzuprüfen.
Bei √(Ausdruck von x) müssen wir sicherstellen, dass der Ausdruck ≥ 0 ist, und dazu müssen wir nach x auflösen, um herauszufinden, für welche x das der Fall ist.
(Übrigens, die Lösungen von x^2 = a sind x = √a und x = -√a (nicht √(-a)))
c):
y^2 + x = 0 | - x
y^2 = -x | √
y = √(-x) ∨ y = -√(-x)
Da √ so definiert ist, dass immer ein nichtnegativer Wert herauskommt und nach Voraussetzung y ≤ 0 sein soll, müssen wir hier das negative Vorzeichen nehmen:
y = -√(-x)
Weil wir hier eine Wurzel haben, die nicht für alle reellen Zahlen definiert ist, müssen wir hier den Ausdruck unter der Wurzel prüfen:
x ∈ D => -x ≥ 0
=> x ≤ 0
=> D = {x ∈ ℝ | x ≤ 0}
Wertebereich: für x = 0 wird y = 0, für x -> -∞ geht auch die Wurzel gegen ∞, also y gegen -∞, und die Wurzel ist stetig, also ist
W = {y ∈ ℝ | y ≤ 0}
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d): y = 1/x stimmt.
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e):
x^2 y = x + y
Alle Terme mit y auf die eine Seite bringen, alle ohne auf die andere:
x^2 y - y = x
auf der linken Seite y ausklammern:
(x^2 - 1) y = x
y isolieren:
y = x / (x^2 -1)
Definitionsbereich: ℝ \ {Nullstellen des Nenners}
Wertebereich: Nennergrad > Zählergrad, also im Unendlichen beschränkt, hier kommen wir nicht wesentlich weiter
Aber x^2 - 1 hat Nullstellen, der Term auf der rechten Seite hat also Polstellen, damit ist die Funktion unbeschränkt. Jetzt geht es noch darum, welche Vorzeichen der Term annehmen kann und ob 0 ein möglicher Wert ist. Daran entscheidet sich, welche der folgenden Mengen der Wertebereich ist:
ℝ
ℝ \ {0}
{y ∈ ℝ | y ≥ 0}
{y ∈ ℝ | y > 0}
{y ∈ ℝ | y ≤ 0}
{y ∈ ℝ | y < 0}
Die Erklärung zum Wertebereich verstehe ich immer noch nicht. Steht fast genauso auf jeder online Seite. Können Sie mir nicht anhand einer Aufgabe Erläutern was ich machen muss Bzw wie ich denken muss?
Definitionsbereich ist also immer nach x auflösen?
Was ist wenn ich zwei werte für x habe zb. x^2= x1=Wurzel von x, x2= Wurzel von -x , geht das?
Oder ist diese dann weil x^2 in ganz R also ohne Einschränkung?
Bei Aufgabe 1. wie soll ich bei c,d und e nach y auflösen?
Stimmt bei d ) y= 1/x ?