Was ist die lösung dieser Mathematikaufgabe?
(f) Lösen Sie die Gleichung durch Substitution:
81sin^4(x)−45sin^2(x)+4=081sin4(x)-45sin2(x)+4=0
Wählen Sie die beiden kleinsten positiven Lösungen.
Danke schonmal im Vorraus.
5 Antworten
sin(x) sei z.
81z^4-45z²+4=0
Sei nun u=z²
81u²-45u+4=0 | :81
u²-0.555u+0.049382716=0 | P/Q-Formel
u1=4/9
u2=1/9
Nun wieder auf z umformen, das kannst du bestimmt selber. Du erhältst 4 Ergebnisse für sin(x).
Nun folgt die Rücksubstitution.
Nutze hierzu den Arcussinus, um die x-Werte zu erhalten.
Edit: Du kannst natürlich auch direkt z=sin²(x) setzen, aber ich finde es mit den Einzelschritten etwas verständlicher.
81u² - 45u + 4 = 0 dann durch 81 und pq-Formel
81sin^4(x)−45sin^2(x)+4 = 0
Sei z = sin²(x)
----> 81z² - 45z + 4 = 0
pq-Formel anwenden:
--> z(1) = 45/162 + [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)
z(2) = 45/162 - [ (45/162)² - 4/81]^(1/2)
und damit:
z(1) = 4/9
z(2) = 1/9
Also durch Resubstitution folgt also:
sin²(x) = 4/9 oder sin²(x) = 1/9
Auf beiden Seiten nun die Quadratwurzel ziehen:
sin(x) = +/- 2/3 oder sin(x) = +/- 1/3
Dies kann man nun mit der Umkehrfunktion vom Sinus lösen, dem arcsin:
--> x(1) = arcsin(2/3) = ca. 0.73 (Rad)
---> x(2) = arcsin(-2/3) = -0.73 (Rad)
----> x(3) = arcsin(1/3) = ca. 0.34 (Rad)
-----> x(4) = arcsin(-1/3) = ca. -0.34 (Rad)
Da jedoch gilt:
sin(x) = sin(pi - x) folgt, dass es jeweils noch 4 weitere Lösungen gibt, mit:
x(5) = pi - x(1) = ca. 2.41 (Rad)
x(6) = pi - x(2) = ca. 3.87 (Rad)
x(7) = pi - x(3) = ca. 2.8 (Rad)
x(8) = pi - x(4) = ca. 3.48 (Rad)
Damit existieren also 8 Lösungen für diese Gleichungen für: 0 <= x < 2pi
Ist eine der Lösungen kleiner als 0, zum Beispiel x(2) = -0.73 , so kann eine dem Intervall entsprechende Lösung gefunden werden durch addieren von 2pi, da ja gilt: sin(x) = sin(x + 2pi)
----> bei x(2) zum Beispiel: x(2) = 2pi - 0.73 = ca. 5.55 (Rad) < 2pi
oder bei x(4) dementsprechend: x(4) = 2pi - 0.34 = ca. 5.94 (Rad) < 2pi
Hier ein Link zu der Funktion:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+81sin^4%28x%29%E2%88%9245sin^2%28x%29%2B4
Dort ist ebenfalls zu erkennen, dass es 8 Lösungen geben muss, die oben genannten.
Zu guter letzt noch die Umrechnung vom Bogenmaß (Rad) in Grad (Degrees):
(b/2pi)*360 = k mit b in Bogenmaß und k in Grad
Mitternachtsformel?:)
ok aber 81sin^4x ist doch das gleiche wie sin^81×4x oder? vlt hilft dir das weiter? 😁
Würde schonmal nicht gehen, weil es ^4 und ^2 ist. Also muss da erst die Substitution her.
Trotzdem schaffe ich es nicht diese Aufgabe zu lösen o_O
Soll 81sin4(x) etwa 81 * sin⁴ (x) heißen?
Tipp: sin² (x) substituieren.
Quadratische Gleichungen lösen kannst du, oder?
Ja schon, aber ich bekomme die Aufgabe ohne Taschenrechner nicht hin, der liegt 200km entfernt Zuhause
TIPP : besorge dir auf jeden Fall einen Graphikrechner (Casio).Mit solch einen Rechner,löst du jede Aufgabe.der Schwirigkeitsgrad spielt dabei keine Rolle mehr und es geht viel schneller,als im Internet.
Mit einen 70 Euro Rechner,kannst du eine komplette Kurvendiskussion durchführen.
sonst probiers mal mit der app photomath hat mir schon paar mal geholfen:)