Binomische Formel?
🙋♂️
Wir sollen eine Aufgabe lösen die lautet: (-x-5) ins Quadrat.Was kommt da raus? Ich komme mit dem Minus durcheinander. Erklärungen könnt ihr auch dazu schreiben .
Lg🤓
5 Antworten
"Denke" Dir das (oder forme es anfangs schriftlich um) in der Form der ersten binomischen Formel (a+b)²=a²+2ab+b², d. h. in Deinem Fall:
(-x-5)² = (-x + (-5))² mit a=-x und b=-5, also =(-x)² + 2 * (-x) * (-5) + (-5)²
Das jetzt nur noch ausrechnen. Mit ein bisschen Übung wirst Du den Zwischenschritt mit den ganzen Minuszeichen nicht mehr brauchen und machst das alles direkt in einem Rutsch im Kopf...
D. h. Du rechnest "einfach" jeweils den ersten und zweiten Wert zum Quadrat (Vorzeichen ist dabei sogar egal, weil beim Quadrieren immer plus rauskommt) und dazwischen kommt 2 * erster Wert * zweiter Wert, mit Minus davor, wenn genau 1 Minuszeichen in der Klammer vorkommt, ansonsten mit Pluszeichen.
Man kann da die zweite binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² verwenden. Dabei ist im konkreten Fall dann a = -x und b = 5.
Beachte dabei, dass bei „(-x)² + ...“ das -x in einer Klammer stehen muss, damit das gesamte -x quadriert wird. Wenn man -x² schreiben würde, würde das Minus nicht mitquadriert werden.
Beim Quadrieren fällt das Minus weg, d.h. es ist (-x)² = x², weshalb im nächsten Schritt dann nur noch x² statt (-x)² steht. Und genau sowas könnte man auch ausnutzen, um alternativ einem leicht anderen Rechenweg zu folgen. Man könnte nämlich auch zunächst ein Minus ausklammern, dass dann beim Quadrieren wegfällt.
Dann kann man mit der ersten binomischen Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² weiterrechnen.
Und hier schließlich noch ein dritter Rechenweg, bei dem auch wieder die erste binomische Formel zum Einsatz kommt...
Ich persönlich habe da eigentlich immer diese letzte dritte Variante im Kopf. Aber such dir aus, was am besten zu dir passt. Alle Varianten sind richtig und liefern dementsprechend auch gleichermaßen das richtige Ergebnis.
Bei solchen Aufgaben mit Vorzeichen kann man die Zahlen erstmal klammen:
((-x) + (-5))² = (-x)² + 2*(-x)*(-5) + (-5)² = x² + 10x + 25
Die vielen Klammern sind zwar etwas unübersichtlich, man muss da nur die Nerven behalten.
Bei dieser Aufgabe hätte man auf die Klammern um die (-5) verzichten können, aber die zweite binomische Formel leifert auch kein anderes Ergebnis (wäre auch schlimm)
((-x) - 5)² = (-x)² - 2*(-x)*5 + 5² = x² + 10x + 25
Eine andere Idee wäre es bei dieser Aufgabe, -1 als Vorzeichen auszuklammern.
(-x - 5)² = (-1)² * (x + 5)² = (x + 5)², denn (-1)² = 1
Im Zweifelsfall empfehle ich die erste Variante, die funktioniert immer.
Wir machen das mal einfach, alles mit Plus.
(a+b)² = (a+b) * (a+b) = a*a+a*b+b*a+b*b = a² + 2ab + b²
Jetzt für jedes a setze ich ein (-x) ein
(-x+b)² = (-x+b) * (-x+b) = (-x)*(-x)+(-x)*b+b*(-x)+b*b = x² + 2(-x)b + b²
....und für jedes b ein (-5)
= x² + 2(-x)(-5) + (-5)² = x²+10x+25
(-x-5)² = (x+5)² = x² + 10x + 25