Beweis, dass sin(3phi) = 3sin(phi) -4(sin(phi))^3?

Mithilfe der formel von Moivre und den binomischen formeln.

Ich finde da leider keinen Ansatz.

Answer 1

[YBCO123]

Es ist ja

$\cos\ 3x\ +\ i\ \sin\ 3x\ =\ \left(\cos\ x\ +\ i\ \sin\ x\right)^3$

Wenn du die rechte Seite ausmultiplizierst (von mir aus mit binomischer Formel) bekommst du für den Imaginärteil

$Im\left(\left(\cos\ x\ +\ i\ \sin\ x\right)^3\right)=3\ \sin\ x\ -\ 4\ \sin^{3\ }x$

Daraus folgt die Aussage.

Comments

[ecke0]

Die Lösung sieht sehr gut aus, danke!

Eine Frage habe ich dazu: kann man einfach sagen, das sin(x)=Im(cos(x)+isin(x) ist? Sin(x) ist doch eine reelle Funktion und für x eingesetzt eine Reelle Zahl. Wieso kann man einfach den Imaginärteil annehmen?

[YBCO123]

@ecke0

Ja. Das ergibt sich ja schon aufgrund der Identität die du selbst hingeschrieben hast: cos x + i sin x hat als Imaginärteil sin x.

Answer 2

[ZaidEverrett]

einfach mal so schreiben sin(3p) = 3sin(p) - 4(sin(p)*sin(p)*sin(p))

sin(3p) = sin(p) * (3 - 4sin^2(p))

sin(3p) = sin(p) * (3 - 4*((1/2)* (1- cos(2p))

sin(3p) = sin(p) * (1 + 2cos(2p))

sin(p) + sin(p) * 2cos(2p)

sin(p) + sin(p) * 2*(sin(4p)/(2sin(2p)))

sin(p) + sin(p) * (sin(4p)/(sin(2p)) = sin(3p)

usw

Answer 3

[tunik123]

Das funktioniert auch ganz klassisch:

sin(2x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)

cos(2x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos²(x) - sin²(x)

sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)

= 2sin(x)cos(x)cos(x) + (cos²(x) - sin²(x))sin(x)

= 2sin(x)cos²(x) + sin(x)cos²(x) - sin³(x)

= 3sin(x)cos²(x) - sin³(x)

Nun ist cos²(x) = 1 - sin²(x)

sin(3x) = 3sin(x)(1 - sin²(x)) - sin³(x)

= 3sin(x) - 4sin³(x)

wzbw

Comments

[ecke0]

Mit den additionstheoremen geht das natürlich auch. Aber die Aufgabe erfordert die formel von Moivre also muss man die komplexen zahlen einbeziehen.

Ansonsten eine gute lösung.