Wie beweise ich diese Gleichung mit dem binomischen Lehrsatz?
Ich brauche dazu irgendeinen Ansatz/Idee. Danke!
3 Antworten
hilft das ?
Ausdrücke mit Binomialkoeffizienten Summen mit Binomialkoeffizienten∑ k = 0 n ( n k ) = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ⋯ + ( n n ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dotsb +{\binom {n}{n}}=2^{n}}
Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} die Anzahl aller k {\displaystyle k} -elementigen Teilmengen einer n {\displaystyle n} -elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Die Formel lässt sich auch aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem man x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} setzt.
Summen mit alternierenden Binomialkoeffizienten∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) = ( n 0 ) − ( n 1 ) + ( n 2 ) ∓ ⋯ + ( − 1 ) n ( n n ) = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}\mp \dotsb +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}=0} für n > 0 {\displaystyle n>0} .
Diese Formel folgt für ungerade n {\displaystyle n} aus der Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Für beliebige n {\displaystyle n} lässt sie sich aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem x = 1 {\displaystyle x=1} und y = − 1 {\displaystyle y=-1} (oder x = − 1 {\displaystyle x=-1} und y = 1 {\displaystyle y=1} ) gesetzt wird.
Wenn du den binomischen Lehrsatz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
als gültig voraussetzen darfst, dann ist es ganz einfach
Setze im binomischen Lehrsatz einfach
x = 1 und y = -1
ein, und du erhälst sofort deine zu beweisende Behauptung
ich meine diesen Lehrsatz mit dem Summenzeichen:
Wie beweise ich diese Gleichung mit dem binomischen Lehrsatz?
das heißt doch, du sollst den binomischen Lehrsatz als gegeben voraussetzen
und bei dem Beweis verwenden
s.o. oder s.u.......