Ich brauche dazu irgendeinen Ansatz/Idee. Danke!

Wie beweise ich diese Gleichung mit dem binomischen Lehrsatz? (Schule, Mathematik, Gleichungen)

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule, Mathematik

27.10.2021, 14:57

hilft das ?

Ausdrücke mit Binomialkoeffizienten Summen mit Binomialkoeffizienten

∑ k = 0 n ( n k ) = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ⋯ + ( n n ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dotsb +{\binom {n}{n}}=2^{n}}

Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} die Anzahl aller k {\displaystyle k} -elementigen Teilmengen einer n {\displaystyle n} -elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Die Formel lässt sich auch aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem man x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} setzt.

Summen mit alternierenden Binomialkoeffizienten

∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) = ( n 0 ) − ( n 1 ) + ( n 2 ) ∓ ⋯ + ( − 1 ) n ( n n ) = 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}\mp \dotsb +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}=0} für n > 0 {\displaystyle n>0} .

Diese Formel folgt für ungerade n {\displaystyle n} aus der Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Für beliebige n {\displaystyle n} lässt sie sich aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem x = 1 {\displaystyle x=1} und y = − 1 {\displaystyle y=-1} (oder x = − 1 {\displaystyle x=-1} und y = 1 {\displaystyle y=1} ) gesetzt wird.