Aus Konvexität von der Fkt. f folgt Monotonie für die Fkt. m?
Ich bräuchte Hilfe bei der Folgenden Aufgabe:
Sei f: R -> R eine konvexe Funktion mit f(0)=0. Weiterhin sei m : ]\infty, 0[ -> R durch m(x)=(f(x))/x definiert. Zeige nun, dass die Funktion m monoton steigend ist.
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Mein Ansatz bis jetzt war die Zuhilfenahme der Eigenschaft von Konvexität, allerdings bin ich da nur mäßig für m(x) weiterhin gekommen:
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Dein Ansatz führt in die richtige Richtung.
Ich lasse mal den Index 1 weg, dann hat man
f(lambda * x) <= lambda * f(x), und nach Division durch lambda * x,
f(lambda * x) / (lambda * x) <= f(x) / x
Das bedeutet
m(lambda * x) <= m(x)
Da dies für alle lambda von 0 bis 1gilt, folgt unmittelbar die Monotonie von m.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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Setze doch mal x1 > x0 an, setze in m ein und schau dann ob du die Eigenschaft der konvexen Funktion sinnvoll anwenden kannst.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ralphdieter/1444750340_nmmslarge.jpg?v=1444750340000)
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Das habe ich schon gezeigt, hast du eine Idee, wie ich fortfahren soll?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ralphdieter/1444750340_nmmslarge.jpg?v=1444750340000)
Ähm, wie ist denn Monotonie definiert?
Soll heißen: Du bist praktisch fertig. Du solltest allerdings Deine Nomenklatur überarbeiten. Es war sehr ungeschickt, in der Herleitung den Namen x₁ zu verbraten. Die Abschätzung gilt ja für jedes x≥0.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Aber dann bist du doch fertig. Du mußt nur noch zeigen das für jedes x0 mit 0 < x0 < x1 ein lambda mit 0 < lambda < 1 existiert so das x0 = lambda*x1.
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Schau dir die Indizes nochmal genauer an. Wie Ralphdieter schon geschrieben hat, du musst an deinen Bezeichnungen arbeiten.
Das hatte ich schon probiert, indem ich "\frac{f(x_1}{x_1}\leq \frac{x_2}{x_2}" umgeformt habe, nur die Eigenschaft der Konvexität habe ich nicht einbringen können...