Annäherungsverfahren E-Funktion?
In einem Waldgebiet leben zwei Arten von Greifvögeln. Die Population der ersten Art wird durch f(t)=10t+50 beschrieben, die zweite durch g(t)=100*e^-t
Bestimmen Sie angenähert, wann f und g gleich groß sind.
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Ich komme hier nicht weiter, weil ich nicht verstehe, wie ich beim Annäherungsverfahren denn vorgehen soll.
4 Antworten
Du rechnest f(t)=g(t) <=> f(t)-g(t)=0
Entweder machst Du kurz eine Wertetabelle für f(t)-g(t) und schaust wann das Vorzeichen wechselt, weil dann muss dazwischen die Nullstelle liegen oder Du guckst Dir vorher die ersten Werte der steigenden Geraden f und der fallenden e-Funktion g an: f(0)=50 und f(1)=60 bzw. g(0)=100[>f(0)] und g(1)=100/e=36,79[<f(1)], d. h. zwischen t=0 und t=1 muss der Schnittpunkt liegen. Jetzt einfach dieses Intervall immer weiter verkleinern bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist, also zuerst t=0,5 testen, dies liegt noch vor dem Schnittpunkt, dann vom Intervall ]0,5;1[ den mittleren Wert testen, usw.
Für den Moment habe ich es mir einfach gemacht und mir die beiden Funktionsgraphen angeschaut; rechnerisch setzt Du 0,5 in den Term f(t)-g(t) ein und stellst fest, dass ein negativer Wert rauskommt, wie bei t=0 auch, d. h. Du musst weiter nach rechts wandern; bei t=0,75 wird +10,26 rauskommen, d. h. zwischen ]0,5;0,75[ muss die Nullstelle/der Schnittpunkt liegen, also als nächstes z. B. t=0,63 testen.
Du sollst den Nullpunkt der Funktion
näherungsweise bestimmen. Habt ihr dazu schon Verfahren gelernt? Eine Möglichkeit ist das
https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren
eine andere die
https://de.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung
Bei beiden benötigst du eine grobe Idee, wo tatsächlich die Lösung liegt. Dabei kann dir z.B.
helfen.
anhand deiner anderen Fragen kommen hier zwei Verfahren in Frage :
Mit dem TR : probieren von x = 0 aus , dort ist f(0) = -50............. dann x = 0.5 usw . Schauen wann f(x) positiv wird und näher eingegrenzen .
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Oder eine beide Fkt ( eine Gerade und eine einfache e-Fkt ) zeichnen und den Schnittpunkt ablesen.
Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) t=0,58288..
g(x)=f(X)
0=100*e^(-1*t)-10*t-50
1) zuerst eine Wertetabelle aufstellen
2) die Wertetabelle auf Vorzeichenwechsel prüfen
Findet ein Vorzeichenwechsel statt,so liegt zwischen den beiden x-Werten mindestens eine Nullstelle.
Es gibt auch Funktionen,wo der Graph nur die x-Achse berührt und dann gibt es keinen Vorzeichenwechsel.Man muß dann prüfen,ob sich der Graph der x-Achse nähert und sich dann wieder entfernt.
Die gefundene Nullstelle wird dann durch mehrmaliges Versuchen verbessert.
3) hat man eine angenäherte Nullstelle gefunden,dann wendet man einer der beiden Näherungsformeln von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehnenverfahren) an.
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Woher weißt du denn, dass beim Einsetzen von 0,5 für t festgestellt werden kann, dass 0,5 noch vor dem Schnittpunkt liegt und nicht dahinter?