e-Funktion und Tangentengleichung bringen mich um!
Eine Mathe-Frage: Bin am Gymnasium in der 11. (von 12) Klasse und wir haben mehr oder weniger die e-Funktion durchgenommen...
Die Aufgabenstellung lautet: Bestimme die Gleichungen von Tangente und Normale im Punkt P(-1;f(-1)) bei der Gleichung f(x)=2e^x?
Ich habe keine Ahnung wie ich jetzt vorgehen muss, kann mir jemand vielleicht eine recht einfachere Erklärung dazu geben? Das wär echt super! Danke im Vorraus!
Liebe/r LiChrix,
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Sophia vom gutefrage.net-Support
3 Antworten
Nun, schau doch erst einmal genauer hin und mach dich nicht gleich verrückt, bloß weil da eine e-Funktion mit im Spiel ist .. :-)
Was brauchst du denn, um eine Geradengleichung zu bestimmen ?
Nun, du brauchst einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und eine Steigung.
Der Punkt ist gegeben durch P ( - 1 | f ( - 1 ) ) = P ( - 1 | 2 e ^ ( - 1 ) )
und die Steigung ermittelst du, indem du die 1. Ableitung von f ( x ) = 2 e ^ x bestimmst und dort für x den Wert - 1 einsetzt und somit die Steigung der Funktion f ( x ) an der Stelle x = - 1 ausrechnen kannst. Diese Steigung aber ist auch die Steigung mt der Tangenten an f ( x ) im Punkte P.
Von den vier Parametern der allgemeinen Geradengleichung
y = m x + b
kennst du nun also drei, nämlich
x = - 1
y = f ( - 1 ) = 2 e ^ ( - 1 )
m = f ' ( - 1 )
Nun sollte es dir als Gymnasiasten in der 12. Jahrgangsstufe nicht wirklich schwerfallen, daraus den noch fehlenden Parameter n zu bestimmen.
.
Eine Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen Geraden steht.
Für das Produkt der Steigungen m1 und m2 zweier senkrecht aufeinander stehenden Geraden aber gilt
m1 * m2 = - 1
Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du nun aus der Tangentensteigung mt die Steigung mn der Normalen zu der soeben berechneten Tangente bestimmen. Und da die Normale ebenfalls durch den Punkt P gehen soll, kennst du nun also wieder drei der Parameter der allgemeinen Geradengleichung
y = m x + b
nämlich:
x = - 1
y = f ( - 1 ) = 2 e ^ ( - 1 )
mn = - 1 / mt
und kannst daraus nun wie schon bei der Tangenten den noch fehlenden Parameter b bestimmen.
Viel Erfolg!
Die Steigung m der Tangente ist f´(x), dann hast du die steigung m der tangtente, also mt.
und die Steigung der Tangente mal die Steigung der Normale ist -1. Also kannst du das auflösen und hast auch die Steigung der Normale. Nun hast du die beiden Steigungen und musst den y- wert und den x-wert in die Funktionsgleichung der Tangente / Normale einsezten. also bei der normale ist das in dem fall: f(-1)= m*-1 Das musst du nach n hin auflösen dann hast du die funktionsgleichung der Tangente.. Das gleiche musst du dann auch für die Normale machen
zuerst berechnest du f(-1) , indem du bei f fürs x jetzt -1 einsetzt; also P(-1;2/e) dann leitest du ab und bildest f '(-1) also f ' = 2e^x und f ' (-1) = 2/e das ist die steigung der tangente; mit m und P bildest du die Tangentenfunktion y=mx+b
die Normale hat m= -e/2 also negativen Kehrwert von der Tangentenstg. und jetzt für die Normale mit P dann y=mx+b bilden.
Hey JotEs, mal wieder ne Superantwort! DH!
☺??Hätte sie nicht "etwas ausführlicher" sein können?? (Scherzfrage!!)☺☺☺