Alternative zur Epsilon-Delta-Stetigkeit?
Ich sehe gerade im Skriptum, dass eine Funktion f genau dann in einem Punkt stetig ist, wenn für jede Folge auf den Definitionsbereich der Funktion ausgenommen dieser Stelle, mit Grenzwert a gilt: lim der Hintereinanderausführung ist gleich dem Funktionswert an dieser Stelle (oben stehts verständlicher in der Bemerkung).
Heißt das, (Beispiel 3) ich kann alternativ zur E-D-Stetigkeitsdefinition die Stetigkeit einer Folge beweisen, indem ich eine beliebige Folge der obigen Form nehme und zeige (wie in Beispiel 3), dass der Funktionswert der Funktion an dieser Stelle als Ergebnis herauskommt ?
Falls ja, wie kann ich mir das anschaulich vorstellen bzw warum wäre dies erlaubt ?
4 Antworten
Genau so ist es. Die Charakterisierung der Stetigkeit durch das Folgenkriterium nennt man Folgenstetigkeit. In metrischen Räumen (also insbesondere in IR) sind Epsilon-Delta- und Folgenkriterium äquivalent, erst in topologischen Räumen gilt nur noch die Implikation
und die Rückrichtung gilt nicht mehr uneingeschränkt. Das heißt, in topologischen Räumen gibt es tatsächlich Funktionen, die folgenstetig, aber nicht stetig sind, aber in metrischen Räumen sind die beiden Charakterisierungen äquivalent.
Das Folgenkriterium besagt intuitiv, dass man den Limes reinziehen darf, wenn er existiert, dass also
gilt. Wichtig ist aber, dass das nicht nur für bestimmte, sondern für beliebige Folgen gelten muss.
Vorstellen kann man sich diese Charakterisierung wie jede Charakterisierung an möglichst kanonischen, aber nicht-trivialen Beispielen. Stelle dir im Anschauungsraum IR eine stetige Funktion wie die Quadratfunktion und eine nicht-stetige Funktion wie
vor (oder zeichne sie auf). f ist in 2 offensichtlich nicht rechtsseitig stetig, das sieht man am Folgenkriterium wie folgt: Nimm dir zum Beispiel die Folge
dann gilt
aber
weil alle Folgenglieder (wenn auch nur minimal) größer als 2 sind. f ist also in 2 nicht folgenstetig. Jetzt kannst du dir mal überlegen, warum Folgenstetigkeit bei einer stetigen Funktion wie der Quadratfunktion (oder an einer anderen Stelle von f) nicht schiefgehen kann (also die Rückrichtung: warum sind stetige Funktionen auch folgenstetig?).
Das wundert mich auch ein bisschen, weil Stetigkeit mit dem Folgenkriterium oft viel eleganter bewiesen werden kann als "zu Fuß" (weil man in der Definition einer Folge und der Konstruktion des Grenzwertbegriffs einer Funktion natürlich implizit die Epsilons und Deltas wiederfindet, sich aber nicht explizit damit "herumschlagen" muss).
Studium ist zwar eine Weile her, aber ich glaube so leicht funktioniert das nicht. Der Witz ist, dass du das für jede beliebige Folge an der Stelle nachweisen müsstest ("Für jede Folge \phi:N-> A\{a} ... "). Das Beispiel zeigt nur eine Folge für die das gilt.
Ich habe im Internet diese Bemerkung aus mein Skript gefunden. Es handelt sich um das Folgenkriterium und unter dem Abschnitt Übungsaufgaben merke ich, dass die Beweise tatsächlich diese Länge haben wenn man das Folgenkriterium anwendet. Für jede Folge hat man es gezeigt, indem man nicht einschränkt welche man nimmt (eben eine beliebige). Finde es sehr interessant, dass es funktioniert. Obwohl bei gleichmäßiger Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit ich an den formalen Beweisen nicht vorbeikomme.
Jep, das ganze Kapitel kam mir aber immer wie Taschenspielertricks vor. Es wurde eine Aufgabe zu einer speziellen Funktion gegeben und durch irgendwelche cleveren Rechnereien hat sich am Ende alles aufgelöst. Da bin ich oft nicht mitgekommen. Wäre heute mit Ruhe und Zeit sicher anders.
Das Beispiel zeigt nur eine Folge für die das gilt.
Nein? Das Beispiel gibt doch eine beliebige Folge vor.
Was muss man in Beispiel 3 zeigen? Ich sehe die Aufgabenstellung glaub nicht.
EDIT: Ok hab deine Frage nochma durchgelesen.
Also es reicht nicht eine Folge zu nehmen, dessen Grenzwert a ist und damit (nur für diesen Fall) zu zeigen, dass die Verkettung von der Funktion f mit der Folge im Limes den Funktionswert des Grenzwertes ergibt. Um Stetigkeit zu zeigen musst du das für eine beliebige Funktion machen, muss also alles ganz allgemein gehalten werden.
Und du meinst Stetigkeit einer Funktion und nicht Stetigkeit einer Folge, oder?
Das war schon das ganze Beispiel, also der Beweis, dass die Quadratfunktion stetig ist. Deswegen wunderts mich, dass in nur zwei Zeilen etwas gezeigt wurde, dass mit der Epsilon-Delta-Stetigkeitsdefinition deutlich aufwändiger wäre
Die Frage ist nun, ob du den Limes im vorletzten Schritt so in die Klammer reinziehen darfst. Wenn das geht, dann hättest dus gezeigt.
Übrigens: Falls du auch die Latex-Schreibweise benutzen willst:
lim_n \rightarrow \infty (Ist der Limes)
\circ (Ist der Kreis)
wusste nicht, dass Latex auf dieser Seite funktioniert, gut zu wissen.
Interressant, also jedes mal wenn ich die Frage mit ja beantworten kann, ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
Danke für die ausführliche Antwort ! Mich wunderts, dass so viel Wert auf das Epsilon-Delta-Kriterium gelegt wird und das Folgenkriterium unerwähnt bleibt bzw. eine Bemerkung im Skript ist.