Folgen - Epsilon Bedeutung?
hallo bei Folgen gilt ja per Definition /a(n) - a)/ < epsilon
was genau ist dieses epsilon bzw genau bedeutet diese definition?
a minus den grenzwert soll kleiner sein als jedes epsilon, wobei epsilon bei einer folge die die zahlenwerte 2,75 ,2,5 2,25... immer dieser anteil ist der ,falls unsere zahlen gegen 2 konvergiert noch übrig bleibt (hier: 0,75. 0,5 0,25 ..)?
2 Antworten
epsilon ist eine beliebig kleine Zahl, größer Null
Das wäre die Definition
Eine Folge a(n) hat einen Grenzwert a , wenn es zu jedem epsilon > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass | a(n) - a | < epsilon für alle n >= N ist.
Noch Fragen?
siehe auch:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Konvergenz_und_Divergenz
n und N sind natürliche Zahlen
doch 0,05 ist < epsilon, halt ein größeres epsilon, wichtig ist aber hier dass man für jedes beliebig kleine epsilon ein a(n) findet, sodass | a(n) - a | < epsilon, also je kleiner epsilon ist, desto größer wird dann n sein müssen
vielleicht am Anfang ein wenig schwer verdaulich
ließ dir vielleich auch das durch( also den Anfang)
Du schreibst: "a minus den grenzwert soll kleiner sein als jedes epsilon, wobei epsilon bei einer folge die die zahlenwerte 2,75 ,2,5 2,25... immer dieser anteil ist der ,falls unsere zahlen gegen 2 konvergiert noch übrig bleibt (hier: 0,75. 0,5 0,25 ..)?"
epsilon ist nicht (hier: 0,75. 0,5 0,25 ..) sondern (hier: 0,75. 0,5 0,25 ..) soll kleiner werden als ein beliebig kleines epsilon, das größer als Null ist, dann ist (hier: 2) der Grenzwert
Hallo,
ja, diese Definitionen mit ɛ sind am Anfang etwas "sperrig" und unanschaulich.
Die Zahl a ∈ ℝ ist Grenzwert der Zahlenfolge (aₙ) , wenn es für alle ɛ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so dass für alle n > N gilt | aₙ - a | < ɛ .
Das bedeutet, dass man die Differenz (oder Abstand) zwischen Gliedern der Zahlenfolge (aₙ) und dem Grenzwert a so klein machen kann (eben ɛ), wie man es wünscht. Man muss nur den Index der Zahlenfolge (das kleine n unten an aₙ) genügend groß machen.
Oder anders ausgedrückt: die Glieder der Zahlenfolge (aₙ) liegen so nahe am Grenzwert (Abstand ɛ) wie man will, wenn man nur weit genug mit den Gliedern der Zahlenfolge fortschreitet. Dieses "weit genug" ist das große N, dass von ɛ abhängt (N = N(ɛ)).
Beispiel) Es sei folgende Zahlenfolge gegeben:
aₙ = 2 + 1/n
Wahrscheinlich ist dir schon klar, dass der Term 1/n gegen Null konvergiert, wenn n gegen Unendlich läuft. Wir wissen also schon, dass aₙ gegen 2 konvergiert.
Wie sieht das mit dem ɛ aus?
Wir möchten z.B., dass | aₙ - 2 | < 1/5 = 0,2 ist.
Wie groß muss der Index n sein, damit die Bedingung erfüllt ist?
| 2 + 1/n - 2 | < 0,2 <=> 1/n < 1/5 <=> n > 5
Ergebnis: wenn n > 5 ist, dann ist | aₙ - 2 | < 1/5 = 0,2
Schauen wir uns das mal an:
|a₄ - 2| = |2 + 1/4 - 2| = 1/4.
1/4 ist noch größer als 1/5.
|a₅ - 2| = |2 + 1/5 - 2| = 1/5 , also ist a₅ - 2 = 1/5, aber noch nicht kleiner als 1/5.
Ab n = 6 ist | aₙ - 2 | < 1/5, denn da ist die Differenz = 1/6, und 1/6 < 1/5 :
|a₆ - 2| = |2 + 1/6 - 2| = 1/6 < 1/5
Für ɛ = 1/5 ist N also 5, damit der Abstand zwischen aₙ (für alle n>N) und dem Grenzwert 2 kleiner als 1/5 ist.
Machen wir die gleichen Überlegungen nun für ɛ = 1/100 (d.h. der Abstand zwischen Grenzwert 2 und Folgenglieder aₙ soll nun kleiner als 1/100= 0,01 betragen. Wie groß muss das N sein, damit das für alle n > N gilt?
In dem Fall muss N = 100 sein, denn für n > 100, also ab n = 101 ist | aₙ - 2 | kleiner als 1/100: | a₁₀₁ - 2 | = 1/101 < 1/100, und alle weiteren aₙ sind dann noch dichter an 2 dran als 0,01.
Vielleicht hilft es etwas zum Verständnis.
Gruß
n >= N ist. hast du geschrieben.
n ist die zahl die ich einsetzte , was genau ist denn groß N?
und
| a(n) - a | < epsilon stimmt doch nicht
wenn ich zb grenzwert 1 habe und a(n) wäre zb 1,05 1,03 1,01 usw dann wäre doch an-a für das erste 0.05 was aber nicht < als epsilon ist?