Folge, Grenzwert, Betrag?

Hallo!

Für meine Schularbeit übermorgen muss ich den Grenzwert einer Folge mit der Epsilon-Umgebung beweisen können. Mein Mathelehrer neigt aber dazu, die Themen sehr genau zu behandeln und zu seinen Aufgabenstellungen finde ich keine Erklärungen im Buch. Ich kann den Beweis ohne Probleme durchführen, solange ich mit dem Betrag nichts Besonderes machen muss, d. h. wenn der ganze Bruch positiv ist. Ich kann aber nicht z. B. mit dieser Aufgabe etwas anfangen:

Folge: (3-2n)/(2n-5), e (Epsilon) = 3/2500 Der Grenzwert ist also - 1. Ich komme bei der Berechnung zu diesem Schritt: |(3n-2n)/(2n-5) +1| < 3/2500

Und da fängt dann die komische Sache mit dem positiv machen an, die ich überhaupt nicht begreife. Habe auch bei Google nichts gefunden. Kann mir da jemand auf dem Beispiel erklären, wie ich vorgehen soll?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

3 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

Willy1729

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

10.05.2016, 16:49

Hallo,

Du mußt prüfen, für welche n der Ausdruck in der Klammer negativ wird, weil Du dann ein Minus vor das Ganze setzen mußt, um es wieder positiv zu kriegen. Das bedeute Fallunterscheidung. Bei allen n, bei denen der Klammerterm positiv ist, brauchst Du dagegen nichts weiter zu unternehmen.

Herzliche Grüße,

Willy

Willy1729

11.05.2016, 21:23

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Wechselfreund

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

10.05.2016, 19:34

In welchem Bundesland gehst du zur Schule? Da wird ja echt noch Mathematik unterrichtet!

keinalu

Beitragsersteller

10.05.2016, 19:40

Ich wohne in Wien :)

Wechselfreund

10.05.2016, 19:42

@keinalu

Ja, die Österreicher sollte man nicht unterschätzen!

Ellejolka

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

10.05.2016, 17:37

du bringst den Term im Betrag zuerst auf den Hauptnenner;

I (3-2n+2n-5)/(2n-5) I < €

= I (-2)/(2n-5) I < €

mit n>2,5

dann 2 < €(2n-5) jetzt durch € teilen

1666,67 < 2n

n>833,3

n=834

denke ich :)

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Gegeben ist noch:

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Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?

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Sei Epsilon > 0 beliebig.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| =
|2 / (3*3n+10)| = |2 / (9n+10)|

Okay ich habe erstmal a_n - 1/3 vereinfacht. Dann wollen wir ja, dass |a_n - 1/3| kleiner ist als Epsilon, also

    2 / (9n+10) < Epsilon        | * (9n+10)
<-> 2 < Epsilon * (9n+10)        |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon   |:9*Epsilon
<-> (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) < n

Das heißt ja jetzt, dass sobald n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon), | a_n - 1/3| < Epsilon gilt. Jetzt muss ich ein N finden für das gilt, dass n>=N mit n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon). Und an dieser Stelle bin ich verwirrt. Im Skript wird das so gemacht, dass man nun einfach an das (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) eine 1 addiert und das dann auf die nächste natürliche Zahl aufrundet. Und das ist dann unser N. Aber es muss doch gelten N <= n und das ist dann doch nicht erfüllt, oder? Müsste man nicht eigentlich -1 dranhängen und abrunden?

Ich habe dann erstmal einfach weitergemacht mit dem N (also (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl). Und hier fängt dann ja erst der richtige Beweis an:

Sei N die Zahl (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl. Sei Epsilon > 0 beliebig.

N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1. Sei n >= N beliebig. Dann ist n >= N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1, also n > (2 - 10*Epsilon)/(9*Epsilon).

Hier bin ich wieder verwirrt, ich habe das so gemacht wie im Skript aber ist hier nicht auch ein Fehler?

    n > (2-10Epsilon) / 9Epsilon | *9Epsilon
<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon     | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2     | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2           | :(9n+10)
<-> Epsilon > 2/(9n+10)

So jetzt schaue ich mir |a_n - 1/3| an.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| = |2 / (3*(3n+10))| = |2 / (9n + 30)|

daraus folgt:

|a_n - 1/3| < Epsiolon. Also ich glaube hier sind ein paar Sachen schief gelaufen. Auch wenn es eigentlich stimmen sollte, dass |a_n - 1/3| < Epsilon gilt.

So damit habe ich gezeigt, dass der Grenzwert 1/3 ist. Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass das kleinstmögliche n 19 ist. Das habe ich dann eingesetzt und gezeigt, dass |a_19 - 1/3| < 0,01 ist. Weil es gegen 1/3 konvergiert, wird der Abstand dann nur geringer habe ich mir gedacht. Wo sind hier meine Fehler? Was könnte ich besser machen?

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