Eindeutigkeit dieser Funktion nachweisen?
Hat jemand eine Idee wie ich das machen soll ? Normalerweise nimmt man an, es gäbe für ein Funktionswert zwei verschiedene Argumente und zeigt dann, sie sind doch gleich. Aber wenn ich ein Funktionswert zwei Polynomen aus dem Definitionsbereich gleichsetze weiß ich nicht wie ich argumentieren soll, die Polynome seien gleich.
Bin ich auf dem richtigen Weg oder muss man eigentlich anders vorgehen ?
3 Antworten
1, x, x², ... ist eine Basis des Vektorraums R[x].
Eine lineare Funktion von R[x] nach R[x] wird durch die Werte auf dieser Basis definiert.
Wenn N auch die 0 enthält, dann ist I auf allen Basiselementen, und damit eindeutig bestimmt. Üblicherweise würde man dann aber N_0 schreiben, ich gehe also davon aus, dass die Definition des Funktionswerts I(1) fehlt. Meine Antwort wäre damit "nein".
Üblicherweise definiert man in (Lin.) Alg. N aber als natürliche Zahlen mit 0.
Also ich denke entweder du widerlegst die Aussage mit einem Gegenbeispiel (Falls es eins gibt), oder du beweist sie indem du zeigst, dass falls zwei Werte gleich sind, also wenn, dass dann auch n=m gelten muss. Wäre mir jetzt grade eingefallen.
Ich möchte nur kurz anmerken, dass falls X^(n+1)=X^(m+1) gilt, bereits folgt n+1=m+1, denn sonst wären es 2 verschiedene Elemente aus dem Polynomring. Ich bin mir nicht sicher, ob das klar ist.
Ah ok :D
Ist es nich so, dass wenn man einen geraden Expoenten hat (n+1 gerade), dann hat man doch schon keine Eindeutigkeit mehr, oder?
Stimmt, somit hab ich glaub ich ein Gegenbeispiel
Aufgrund der Linearität von I gilt ja z.B.
I(X + 2) = I(X) + 2 * I(1) = X²/2 + 2X.
D.h. durch diese Definition ist auf jeden Fall schonmal I(X+2) eindeutig bestimmt.
Wie sieht es mit einem allgemeinen Polynom P aus? Kannst du mithilfe der Linearität schlussfolgern, wie I(P) aussehen muss?
ja, einfach in die einzelnen monome aufspalten (geht wie du begründet hast aufgrund der linearität) und dann die funktion anwenden
Genau ;) Der Trick hier ist, dass die Monome eine Basis des Polynomrings bilden. Wenn du die Funktionwerte einer Basis definierst, legst du damit automatisch eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung auf dem gesamten Raum fest.
stimmt, haben wir sogar in der letzten vorlesung besprochen. danke
genau das hab ich geschrieben haha..