Mathe/Woran erkenne ich die Scheitelform und woran die normal/allgemein Form?
Mein Thema sind quadratische funktionen und ich verstehe nicht woran man man erkennt,dass eine Funktion in der Scheitelform steht oder in der allgemein Form.Bitte um Hilfe!
3 Antworten
allgemeine Form
zB y=5x²-4x+7 oder y=x²-6
Scheitelform
zB y= -3(x-2)² + 11 oder y=2(x-1)²
und das für die Umwandlung
Die Gleichung ist in Scheitelform, wenn sie von der Form
für gewisse Parameter a, x_S, y_S ist.
Die Gleichung ist in Normalform bzw. allgemeiner Form, wenn sie von der Form
für gewisse Parameter a, b, c ist.
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Beispiel:
Die Gleichungen
und
beschreiben beide die gleiche quadratische Funktion. Die erste Gleichung ist in Scheitelform. Die zweite Gleichung ist in Normalform.
Bemerkung: Die zweite Gleichung geht als Normalform durch, obwohl streng nach Definition eigentlich
die Normalform wäre.
Bemerkung: Aus der Scheitelform kann man leicht den Scheitelpunkt ablesen, woher die Scheitelform auch ihren Namen hat. Im konkreten Beispiel ist der Scheitelpunkt (3|4).
Das ist so ähnlich, wie bei dem y = x² - 12x + 22 aus meiner Antwort. Da habe ich ja auch gesagt, es handelt sich um die Normalform, obwohl streng genommen y = x² + (-12)x + 22 bzw. eigentlich sogar y = 1x² + (-12)x + 22 wäre.
Bei der Gleichung y = 3x² + 5x würde man auch behaupten, dass die Gleichung in Normalform ist, obwohl die Normalform streng genommen y = 3x² + 5x + 0 wäre.
So kleine Abweichungen zählt man da nicht als Abweichung von der Normalform bzw. Scheitelform. Als Kleinigkeiten zählen:
- Weglassen einer 0. Beispielsweise y = 3x² + 5x statt y = 3x² + 5x + 0. Oder beispielsweise y = 7x² + 1 statt y = 7x² + 0x + 1. Oder beispielsweise y = 3x² + 2 statt y = 3⋅(x - 0)² + 2.
- Weglassen einer 1. Beispielsweise y = x² + 2x + 3 statt y = 1x² + 2x + 3. Oder beispielsweise y = 2x² + x + 1 statt y = 2x² + 1x + 1. Oder beispielsweise y = (x - 2)² + 3 statt y = 1⋅(x - 2)² + 3.
- Zusammenfassen eines negativen Vorzeichens mit dem davorstehenden Plus bzw. Minus. Beispielsweise y = 3x² - 2x + 5 statt y = 3x² + (-2)x + 5. Oder beispielsweise y = 3⋅(x + 2)² + 4 statt y = 3⋅(x - (-2))² + 4.
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Beispielsweise würde man bei y = x² + 4 sagen, dass die Gleichung sowohl in Scheitelform als auch in Normalform ist. Denn man hat nur Kleinigkeiten weggelassen (nämlich den Faktor 1, sowie ein + 0x bzw. - 0).
Streng genommen wäre die zugehörige Scheitelpunktform eigentlich:
y = 1 ⋅ (x - 0)² + 4
Und die zugehörige Normalform wäre streng genommen eigentlich:
y = 1x² + 0x + 4
Allerdings lässt man
y = x² + 4
als Normalform bzw. Scheitelform durchgehen.
Mir ist gerade aufgefallen, das ich gar nicht darauf eingegangen bin, wie man von einer Form zur anderen gelangt. Da ich gerade schon kurz vorm Einschlafen bin und auch gerade nur am Smartphone bin, werde ich erst heute Abend genaueres dazu schreiben, falls ich es nicht vergesse.
Kurz: Von Scheitelform zu Normalform kommt man durch Ausmultiplizieren. Von Normalform zu Scheitelform kommt man durch quadratische Ergänzung.
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys
Scheitelkoordinaten Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
Normalform 0=x²+p*x+q nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p+/- Wurzel((p/2)²-q)
gemischtquadratische Form 0=x²+p*x mit q=0 Nullstellen bei x1=0 und x2=-p
a2=Streckungsfaktor (Formfaktor)
a2>1 Parabel gestreckt,oben schmal,oben offen,Minimum vorhanden
0<a2<1 Parbel gestaucht,oben breit,oben offen ,Minimum vorhanden
a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden
ao>0 verschiebt den Graphen nach oben
ao<0 verschiebt den Graphen nach unten
Herleitung von xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
f(x)=a2*x²+a1*x+ao abgeleitet
f´(xs)=0=2*a2*xs+a1 ergibt xs=-(a1)/(2*a2) eingesetzt in f(x)=...
f(xs)=ys=a2*xs²+a1*xs+ao mit xs=-a1/(2*a2) ergibt
ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
Vielen Dank!Doch aus einer Gleichung wie x^2+4 Kann man dich auch den Scheitelpunkt ablesen .(0/4)Ist diese dann auch in der Scheitelform?Und wie soll man so einen Term auch noch umwandeln?