Mathe/Woran erkenne ich die Scheitelform und woran die normal/allgemein Form?

Mein Thema sind quadratische funktionen und ich verstehe nicht woran man man erkennt,dass eine Funktion in der Scheitelform steht oder in der allgemein Form.Bitte um Hilfe!

Answer 1

[Ellejolka]

allgemeine Form

zB y=5x²-4x+7 oder y=x²-6

Scheitelform

zB y= -3(x-2)² + 11 oder y=2(x-1)²

und das für die Umwandlung

Dieses Video ist leider nicht mehr verfügbar

https://www.youtube.com/watch?v=5S1v0m39nz8

Answer 2

[mihisu]

Die Gleichung ist in Scheitelform, wenn sie von der Form

$y=a\cdot\left(x-x_{\text{S}}\right)^2+y_{\text{S}}\$

für gewisse Parameter a, x_S, y_S ist.

Die Gleichung ist in Normalform bzw. allgemeiner Form, wenn sie von der Form

$y=ax^2+bx+c$

für gewisse Parameter a, b, c ist.

============

Beispiel:

Die Gleichungen

$y=2\cdot\left(x-3\right)^2+4$

und

$y=2x^2-12x+22$

beschreiben beide die gleiche quadratische Funktion. Die erste Gleichung ist in Scheitelform. Die zweite Gleichung ist in Normalform.

Bemerkung: Die zweite Gleichung geht als Normalform durch, obwohl streng nach Definition eigentlich

$y=2x^2+\left(-12\right)x+22$

die Normalform wäre.

Bemerkung: Aus der Scheitelform kann man leicht den Scheitelpunkt ablesen, woher die Scheitelform auch ihren Namen hat. Im konkreten Beispiel ist der Scheitelpunkt (3|4).

Answer 3

[fjf100]

allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys

Scheitelkoordinaten Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

Normalform 0=x²+p*x+q nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p+/- Wurzel((p/2)²-q)

gemischtquadratische Form 0=x²+p*x mit q=0 Nullstellen bei x1=0 und x2=-p

a2=Streckungsfaktor (Formfaktor)

a2>1 Parabel gestreckt,oben schmal,oben offen,Minimum vorhanden

0<a2<1 Parbel gestaucht,oben breit,oben offen ,Minimum vorhanden

a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden

ao>0 verschiebt den Graphen nach oben

ao<0 verschiebt den Graphen nach unten

Herleitung von xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

f(x)=a2*x²+a1*x+ao abgeleitet

f´(xs)=0=2*a2*xs+a1 ergibt xs=-(a1)/(2*a2) eingesetzt in f(x)=...

f(xs)=ys=a2*xs²+a1*xs+ao mit xs=-a1/(2*a2) ergibt

ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert