Algebra, Ringetheorie, Ideale: Ist das von (2,4,3) erzeugte Ideal in Z ein Hauptideal bzw wie sieht es konkret aus?
Hallo, ich sitze aktuell an einer Aufgabe und bin ziemlich verwirrt.
In einem Lehrbuch (Algebra, Christian Karpfinger, Kurt Meyberg) lese ich, dass für z.B. das Ideal (2,4,3) in Z gilt, (2,4,3)=(12), da 12 der KgV von 2,4 und 3 ist.
Für mich macht das aber leider gar keinen Sinn. Da das Ideal von 2,4,3 erzeugt wird, gilt doch für alle Elemente i im Ideal: i = a2+b4+c3 mit a,b,c element Z.
Mit der Wahl a=0, b=-2, c=3 erhalte ich doch i = -8+9 = 1, womit doch gelten würde (2,4,3) = (1) = Z, oder nicht? Und nicht (12).
Ich würde mich sehr freuen wenn jemand die Verwirrung aus meinem Kopf schaffen könnte. MfG
Edit: Mir ist klar dass (2,4,3) ein Hauptideal ist, da es sich bei Z um einen euklidischen Ring handelt. Aber ich stelle mir die Frage, ob nun (2,4,3) = (12) oder (2,4,3) = (1) gilt und warum? Habe ich einen Denkfehler oder ist das ein Fehler im Buch?
2 Antworten
Das von dir angesprochene Buch habe ich nicht vorliegen. Wenn dort aber tatsächlich (2, 4, 3) = (12) in ℤ behauptet wird, so ist dies falsch.
Wie von dir auch bereits festgestellt, 1 in (2, 4, 3) enthalten. Denn beispielsweise ist 1 = 3 - 2. Und damit handelt es sich bei (2, 4, 3) um den gesamten Ring der ganzen Zahlen...
(2, 4, 3) = (1) = ℤ
In den ganzen Zahlen ist (a₁, ..., aₙ) = (ggT(a₁, ..., aₙ)), und in der Regel nicht (a₁, ..., aₙ) = (kgV(a₁, ..., aₙ)).
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Nachtrag: Ich habe online einen entsprechenden Abschnitt aus dem Buch gefunden.
Beachte, dass das von {2, 3, 4} erzeugte Ideal (2, 3, 4) in ℤ nicht das Gleiche ist wie die Schnittmenge 2ℤ ∩ 3ℤ ∩ 4ℤ. Und das stimmt aber auch, es ist 2ℤ ∩ 3ℤ ∩ 4ℤ = 12ℤ.
Man kann das so sehen:
- (2, 3, 4) ist das kleinste Ideal, welches (2, 3, 4) enthält.
- 2ℤ ∩ 3ℤ ∩ 4ℤ ist das größte Ideal, welches in jeder der Mengen 2ℤ, 3ℤ, 4ℤ enthalten ist.
Dementsprechend hast du da quasi die „Richtung“ verwechselt.
Ich weiß ja nicht, welche Auflage du hast, in "meinem" Exemplar musste ich erstmal suchen, was denn gemeint sein könnte. Meinst du Beispiel 14.3?
Da steht bei mir
Das ist aber was anderes als das Erzeugnis (2,3,4). Vielleicht hast du eine ältere Ausgabe, in der das falsch aufgeschrieben worden ist?
Denn (2,3,4) ist selbstverständlich (1), dazu reicht es ja schon, dass 2 und 3 teilerfremd sind.
Die Auflage finde ich gerade leider nicht. Ja, dieses Beispiel 14.3 steht bei mir auch. Allerdings befindet sich darunter eine Auflistung von mehreren Beispielen. alle unter Beispiel 14.4.
Dort steht "Es ist (2,4,3) =(12) in Z, also ist (2,4,3) ein Hauptideal".
Aber dann bin ich beruhigt dass es sich um einen Fehler im Buch handelt und ich doch nicht so verwirrt bin wie ich dachte^^
Das steht bei mir unter 14.4 nicht. Wurde dann wohl als Fehler erkannt und gestrichen.
Danke für die ausführliche Antwort. Ja, dieses Beispiel steht auch in meinem Buch, aber unter Beispiel 14.4 steht explizit:
"Es ist (2,4,3) =(12) in Z, also ist (2,4,3) ein Hauptideal".