Erzeugendensystem in R³ mit ungleich 3 Vektoren?
Liebe Community,
ich rätsele gerade an einer Aussage, und zwar folgende: "Jedes Erzeugendensystem von R³ besteht aus 3 Vektoren.".
ich weiß, dass es falsch sein soll, kann mir aber bisher keinen Reim drauf machen.
Zuerst hab ich mir überlegt, wie man denn R³ aus zwei Vektoren bilden soll. Dann hab ich mir überlegt, dass zwei Vektoren zwar eine Ebene aufspannen, aber damit ist ja nicht ganz R³ abgebildet.
Dann hab ich versucht, 4 Vektoren zu finden, die ein Erzeugendensytem von R³ bilden. Dabei hab ich keine linear unabhängige Kombination gefunden. Wie auch? Ich bin mir mit etwas Recherche sicher, dass es keine 4 solcher Vektoren gibt.
Doch wie finde ich dann ein Erzeugendensytem mit ungleich 3 Vektoren?
LG Manuel
3 Antworten
Doch wie finde ich dann ein Erzeugendensytem mit ungleich 3 Vektoren?
In dem dir klar wird, dass die vektoren eines erzeugendensystems nicht linear unabhängig sein müssen
Du verwechselt hier die Begriffe Erzeugendensystem und Basis.
Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren, für die gilt, dass der Span dieser Vektoren gleich dem Vektorraum ist.
Eine Basis hingegen ist ein Menge von Vektoren, für die gilt, dass die Vektoren linear unabhängig sind, und dessen Span der Vektorraum ist. (Also ein minimales Erzeugendensystem oder eine Maximale Menge von linear unabhängigen Vektoren)
Somit ist jede Basis ein Erzeugendensystem, jedoch nicht jedes Erzeugendensystem eine Basis, da lineare Unabhängigkeit, nicht gegeben sein muss.
Da R^3 ein Dreidimensionaler R-Vektorraum ist, muss das Erzeugendensystem mindestens 3 Vektoren haben.
Theoretisch könntest du R^3 auch als Q-Vektorraum betrachten, dieser wäre dann unendlich dimensional.
Da geht einiges durcheinander.
Zwei Vektoren können kein Erzeugendensystem für IR3 sein.
3 linear unabhängige Vektoren sind ein Erzeugendensystem.
4 oder mehr Vektoren können ein Erzeugendensystem von IR3 sein, wenn drei davon linear unabhängig sind.
Ggf. hast du nach einem minimalen Erzeugendensystem gesucht. Das ist allerdings etwas anderes. 3 linear unabhängige Vektoren sind ein minimales Erzeugendensystem.
wie gesagt, mit 2 Vektoren konnte ich es mir auch nicht vorstellen - wie auch?
Ich hab leider nicht gewusst, dass lin-unabh. gar keine Bedingung für ein Erzeugendensystem ist, sondern nur für eine Basis, also mein minimale Erzeugendensystem
Dankesehr!
Ah, dann bekomm ich das noch hin^^
Vielen Dank!
Da hab ich offensichtlich was falsch verstanden. also gewissermaßen kann ich einfach meine Einheitsvektoren + irgendeinen Stützvektor wählen und habe damit en weiteres Erzeugendensytem?