Wikipedia: Definition Basis (lineare Algebra)?
Ist die (1) unten nicht dasselbe wie die (2) nur Ausformuliert?
Wenn nein: Was ist der Unterschied zwischen (1) und (2)?
Eine Basis eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B von V mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:
(1): Jedes Element von V lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
(2): B ist ein minimales Erzeugendensystem von V, jeder Vektor aus V lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen V ist lineare Hülle von B und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus B entfernt wird.
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Quelle: Basis (Vektorraum) – Wikipedia
2 Antworten
Das erste bedeutet: jedes Element aus V besitzt eine eindeutige Linearkombination aus den Vektoren von B.
Das zweite Bedeutet: jedes Element aus V lässt sich als Linearkombination von den Vektoren aus B darstellen. Wenn man jedoch einen Beliebigen Vektor aus B entfernt, ist dies nicht mehr möglich.
Die erste Eigenschaft betont also die Eindeutigkeit, die Zweite betont, dass B nicht weniger Elemente besitzen kann, es wird nicht explizit gesagt, dass die Linearkombinationen eindeutig sind. (Da aber beide Eigenschaften äquivalent sind, folgt es aber daraus)
Beide Definitionen sind äquivalent.
Nach der Definition von Vektorräumen ist ein solcher unter Linearkombinationen abgeschlossen, man kann also aus den Elementen aus B ⊂ V nicht Vektoren außerhalb erzeugen. Nach Definition (1) kann man andererseits alle v ∈ V darstellen. V ist also lineare Hülle von B, bzw. B ist Erzeugendensystem von V. Dieser Teil der Definitionen ist schon mal äquivalent.
Wenn eine Linearkombination eines v nicht eindeutig ist, also ∑λᵢvᵢ = ∑λ'ᵢvᵢ kann man diese Gleichung nach einem vᵢ auflösen und erhält eine Darstellung durch die restlichen vᵢ. Man kann diesen Vektor also aus dem Erzeugendensystem entfernen. Umgekehrt wenn man einen Vektor v entfernen könnte, könnte man diesen also durch die anderen darstellen und außerdem durch sich selbst.