Wie Trigonalisiere ich eine Matrix?
Guten Abend allerseits,
An der Uni beschäftigen wir uns gerade mit Trigonaliserung von Matrizen. Ich habe mir Versucht das Thema anhand eines Beispieles vom Buch (Lineare Algebra) Fischer 2020 S.268 beizubringen. (Beispiel unten)
- Schritt --> dies ist mir klar. (Soweit ich das verstanden habe kann T1 und T1^-1 durch den Basiswechsel mit Eigenverktoren erzeugt werden wodurch man A2 erhält.)
- Schritt --> hier beginnt das Problem. Bei diesem Schritt sind keine Eigenvektoren mehr vorhanden, mit welchen man einen Basiswechsel durchführen kann aber die Matrix A2 beziehungsweise A muss noch in die richtige Form (Trigonal) gebracht werden. Im Beispiel unten wird (der zweite Basisvektor) v2 = e2-e3 gewählt wieso? v2 muss ja element von W2 sein jedoch kann dieser nicht einfach irgendwie gewählt werden oder?
Vielen Dank für alle Bemühungen
1 Antwort
Eine Matrix trigonalisiert man, indem man in der Diagonalen von oben links nach unten rechts eine „Spiegelachse“ zieht und die Matrix spiegelt. Damit das möglich ist, muss die Matrix quadratisch (also nxn) sein.
Ich bin mir nicht ganz sicher, wieso v2 so gewählt wurde, aber ich weiss, dass das innere Produkt von v1 und v2= 0 sein muss, da sie ja linear unabhängig sind. So kannst du von v1 auf v2 schliessen, und wenn du e2 - e3 rechnest (euklidische Basisvektoren, also die ganz normalen), bekommst du einen Basisvektor v2 der linear unabhängig von v1 ist.