Abschlusswinkel und Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses?
Leider weiss ich da nicht mehr weiter bei der Physik Übung.Wie gross muss der Abschlusswinkel (gegen Horizontale) und Anfangsgeschwindigkeit eines Geschosses sein, wenn ein Ziel mit der horizontalen Entfernung x = 995 m und der Höhe 450 m genau im höchsten Punkt der Geschossbahn erreicht werden soll?
5 Antworten
Beim schiefen Wurf handelt es sich eine Überlagerung zweier Bewegungen und zwar einer horizontalen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und einer senkrechten beschleunigten Bewegung (g = 9,81 m/s²).
Der Zusammenhang (einschl. notwendiger Formeln) wird in dem kleinen Video erläutert.
Greife den Ansatz von Willy 1729 auf und rechne es mal damit durch:
Der entscheidende Wert bei allen Bewegungen/Flugbahnen ist die Zeit. Sobald man die hat, ergibt sich der Rest fast von alleine. Wenn man nun weiß, dass Flugzeit und Flughöhe über die Gesetze des freien Falles direkt voneinander abhängen, hat man auch den Anfang des roten Fadens in der Hand.
Für die y-Richtung gilt bis zum Erreichen des höchsten Punktes:
sy = 1/2 g * t^2
t^2 = 2sy/g = 2 * 450 m / 9,81 m/s^2 = 91,74 m^2/s^2
t = √ 91,74 m^2/s^2 = 9,58 s
Dieselbe Zeit für hoch braucht das Geschoss auch wieder runter, sodass die gesamte Flugzeit tf sich berechnet zu:
tf = 2 * t = 19,16 s
Für den freien Fall gilt:
vy = g * t = 9,81 m/s^2 * 9,58 s = 93,98 m/s
In dieser Zeit tf fliegt das Geschoss mit der horizontalen und kostanten Geschwindigkeit vx 995 m weit:
sx = vx * t
vx = s /t = 995 m / 19,16 s = 51,93 m/s
Die Gesamtgeschwindigkeit v0 berechnet sich über den Pythagoras:
v0^2 = vx^2 + vy^2 = 2696,72 m^2/s^2 + 8832,24 m^2/s^2 = 11528,96 m^2/s^2
v0 = √11528,96 m^2/s^2 = 107,37 m/s
Für den Abschusswinkel α gilt:
sin α = vy/v0 = 93,98 m/s / 107,37 m/s = 0,875
α = arcsin 0,875 = 61°
P.S.: solltest du für die hilfreichste Antwort einen Stern verteilen, gib den bitte Willy, denn der hat mich erst auf diesen Ansatz gebracht.
Hallo,
anstatt hektisch nach irgendwelchen Formeln zu suchen, solltest Du zunächst überlegen. Was weißt Du? Wie weit und wie hoch das Geschoß fliegt.
Was suchst Du? Die Abschußgeschwindigkeit und den Abschußwinkel.
Was solltest Du noch kennen? Die Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche. Sie beträgt g=9,81 m/s².
Außerdem solltest Du wissen, daß die Bahn des Geschosses - wenn der Luftwiderstand unberücksichtigt bleibt - eine Parabel beschreibt, die aus der Überlagerung zweier Bewegungen entsteht. Die eine Bewegung ist eine waagerechter und geschieht mit konstanter Geschwindigkeit. Die andere Bewegung ist senkrecht (Richtung Erdmittelpunkt) und ist abhängig von der Schwerebeschleunigung, wobei gilt: Rauf wie runter).
Hier ist der Punkt, an dem Du ansetzen kannst. Du weißt, daß das Geschoß eine Höhe von 450 m erreicht. Waru fliegt es nicht unendlich weit hoch? Weil die Schwerebeschleunigung den senkrechten Anteil der Abschußgeschwindigkeit aufzehrt. In jeder Sekunde baut sie um 9,81 m/s ab.
Wenn Du etwas senkrecht nach oben schießt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 98,1 m/s, ist nach 10 Sekunden Schluß mit der Aufwärtsbewegung, denn dann hat die Schwerkraft gewonnen. Ab diesem Zeitpunkt beginnt das Geschoß zu fallen und Richtung Erdboden zu beschleunigen.
Dabei wird es in genau demselben Maße schneller, wie es vorher langsamer wurde. Es ist, als würdest Du einen Film rückwärts ablaufen lassen.
Das bedeutet: Das Geschoß benötigt, bis es die Höhe von 450 m erreicht hat, genauso lange, wie es brauchen würde, um im freien Fall 450 m zurückzulegen.
Oder auch: Der senkrechte Anteil der Abschußgeschwindigkeit entspricht genau der Geschwindigkeit, die das Geschoß nach 450 m freiem Fall im Vakuum erreichen würde. Nun brauchen wir doch eine Formel: v²=2gh.
g=9,81 m/s², h=450
2*9,81 m/s²*450 m=8829 m²/s²=v².
v ist daraus die Wurzel, also 93,96 m/s.
Das ist wie gesagt der senkrechte Anteil der Abschußgeschwindigkeit, also die Projektion des schrägen Geschwindigkeitsvektors auf die Senkrechte.
Da wir den Abschußwinkel noch nicht kennen, nennen wir ihn phi.
Es gilt, wie wir aus der Trigonometrie wissen: sin (phi)=v/v0, also senkrechte Geschwindigkeit geteilt durch Abschußgeschwindigkeit.
Es sind zwei Unbekannte, wir brauchen noch eine zweite Gleichung.
Die konstante Geschwindigkeit, mit der sich das Geschoß in waagerechter Richtung bewegt, ist die Strecke, die das Geschoß in der Waagerechten zurücklegt, geteilt durch die Zeit, die es sich in der Luft befindet, die es also braucht, um auf 450 m aufzusteigen und wieder herabzufallen. Da g und h bekannt ist, läßt sich die Zeit leicht ausrechnen. h=0,5gt². t²=2h/g=900/9,81=91,74 s².
Die Wurzel daraus: 9,58 s.
Da dies nur die Zeit des Aufstiegs ist, müssen wir verdoppeln: t=19,16 s.
Das Geschoß braucht also 19,16 Sekunden, um 995 m zurückzulegen.
Demnach ist vx=995 m/19,16 s=51,94 m/s.
Außerdem ist vx auch die Projektion des Vektors der Abschußgeschwindigkeit v0 auf die Waagerechte. Es gilt: cos (phi)=vx/v0.
v0=v(x)/cos (phi). Da sin (phi)=v/v0, gilt ebenfalls: v0=v/sin (phi).
Gleichsetzen von v0 ergibt: vx/cos (phi)=v/sin (phi) bzw. v/vx=sin (phi)/cos (phi)=tan (phi).
tan (phi)=v/vx=93,96/51,94=1,809.
phi ist also der Arkustangens von 1,809=61,07°.
v0=vx/cos (phi)=51,94 m/s/cos (61,07)=107,37 m/s.
Herzliche Grüße,
Willy
Ist vielleicht ein bißchen umständlich, aber halt relativ anschaulich. Ich bin einfach zu faul, um mir viele Formeln zu merken, deswegen leite ich mir das immer auf diese Art her.
Nun, ich kann dir leider nur beim Winkel helfen, da ich die Formeln für die Geschwindigkeit gerade nciht parat habe. Der Winkel folgt aber einfach mathematisch (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes!). Berechne die Parabel, deren Nullstellen bei x=0 und x= 1990 liegen sowie deren Wert bei x = 995 450 beträgt (Hinweis: f(x) = ax(x-1990); wähle a nun so das f(995) = 450).
Der gesuchte Winkel ist nun f'(0).
Nachtrag 1: Natürlich ist die Tangentensteigung kein Winkel, sondern die Tangente bildet mit der x-Achse den gesuchten Winkel :facepalm:
Nachtrag 2: Mit berücksichtigung des Luftwiderstandes wird das etwas komplizierter, da wird nämlich die (noch nicht bekannte) Anfangsgeschwindigkeit wichtig.
Da muss man als erstes die Formeln für die Wurfweite und die Wurfhöhe beim schrägen Wurf heraussuchen, wenn man sie sich nicht selber kompliziert herleiten möchte.
Für die Wurfweite sw gilt:
Für die Wurfhöhe sh gilt:
Nun hat mann 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (v0 und α), aber auch zwei Randbedingungen geben, sodass das ganze lösbar ist:
Zuerst löse ich beide Gleichungen nach v0^2 auf, um sie dann gleichzusetzen und damit schon mal v0 loszuwerden:
Das kann man nun nach α auflösen, Werte einsetzen und ausrechnen. Der Rest ergibt sich dann ganz von alleine.
Eigentlich gefällt mir dein Ansatz, die Bewegung in x und y-Richtung getrennt zu analysieren, fast noch besser als meiner.