Ableitung von tanh?

hallo

Wie kommt man von hier:

Zu:

Answer 1

[TBDRM]

Es gilt folgendes:

• $\tanh\left(x\right)=\frac{\sinh\left(x\right)}{\cosh\left(x\right)}$
• $\sinh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}$
• $\cosh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}$

Für die Ableitung von tanh(x) müssen wir also die Quotientenregel nutzen, es gilt:

$\left(uv\right)´\left(x\right)=\frac{u´(x)v(x)−u(x)v´(x)​}{v^2\left(x\right)}$

mit folgendem u(x) und v(x) bei tanh(x):

$u\left(x\right)=\sinh\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}\ \ \Rightarrow\ \ u´\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}=\cosh\left(x\right)$ $v\left(x\right)=\cosh\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}\ \ \Rightarrow\ \ v´\left(x\right)=\frac{1}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}=\sinh\left(x\right)\$

Somit gilt:

$\tanh´\left(x\right)=\frac{\cosh^2\left(x\right)-\sinh^2\left(x\right)}{\cosh^2\left(x\right)}=\frac{1}{\cosh^2\left(x\right)}$

denn es gilt die Identität: $\cosh^2\left(x\right)-\sinh^2\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)\right)^2$ $=\frac{1}{4}\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\frac{1}{4}\left(e^x+e^{-x}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\left(e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}\right)\right)$ $=\frac{1}{4}\left(2e^xe^{-x}+2e^xe^{-x}\right)=\frac{1}{4}\left(2\cdot1+2\cdot1\right)=\frac{1}{4}\cdot4=1$

Also haben wir unsere Ableitung vom tanh(x) hergeleitet, nämlich

$\tanh´\left(x\right)=\frac{1}{\cosh^2\left(x\right)}$

Jetzt setzen wir den Wert 3+sinh(x) für x ein und erhalten mit Nutzung der Kettenregel (wird auch fürs Ableiten von sinh(x) und cosh(x) benötigt) folgendes:

$\left(u\left(v\left(x\right)\right)\right)´=u´\left(v\left(x\right)\right)\cdot v´\left(x\right)$

mit den folgenden Werten für u(x) und v(x):

$u\left(x\right)=\tanh\left(x\right)\ \ \Rightarrow\ \ u´\left(x\right)=\frac{1}{\cosh^2\left(x\right)}$ $v\left(x\right)=3+\sinh\left(x\right)\ \ \Rightarrow\ \ v´\left(x\right)=0+\cosh\left(x\right)$

Einsetzen ergibt:

$\tanh\left(3+\sinh\left(x\right)\right)=\frac{1}{\cosh^2\left(3+\sinh\left(x\right)\right)}\cdot\cosh\left(x\right)=\frac{\cosh\left(x\right)}{\cosh^2\left(3+\sinh\left(x\right)\right)}$

Woher ich das weiß: Hobby

Comments

[TBDRM]

Danke für den Stern :D

[TBDRM]

Achtung! Bei der Quotientenregel soll (u/v)´(x) nicht (uv)´(x) stehen!

Ich hoffe damit habe ich Dir es klarer gemacht

Answer 2

[gauss58]

(tanh(x))' = 1 / cosh²(x)

(sinh(x))' = cosh(x)

Anwendung Kettenregel:

(tanh(3 + sinh(x)))' = (1 / cosh²(3 + sinh(x))) * cosh(x) = cosh(x) / cosh²(3 + sinh(x))

Answer 3

[Jangler13]

Schaue dir zunächst an, wie sinh und cosh definiert sind, und bestimme dessen Ableitung. Mache dann das selbe mit tanh (nutze dabei die Ableitungsregeln)

Leite dann die Gegebene Funktion mit den Ableitungsregeln und den Ergebnissen vom vorherigen Abschnitt ab.

Fasse dann zusammen.

Oder in kurz:

Gehe wie üblich vor.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master