Mathe Profi?e funktion?
Gilt immer - gilt nie - es kommt darauf an Entscheiden Sie sich für eine der Optionen und begründen Sie Ihre Wahl .
a ) Die Ableitung der Funktion f mit f ( x ) =e^x ist positiv
b ) Der Graph der Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion f mit f (x) =a^x( a > 0 ) verläuft oberhalb der X - Achse
c ) Die Ableitung der Funktion f mit f (x)=e^x ist an der Stelle x = 0 größer als die Ableitung der Funktion g mit g ( x ) = x +1 .
2 Antworten
Zu Aufgabe 7)
Ansatz einer Exponentialfunktion:
f(x) = b * a^x
b = Anfangswert, hier 100%
a = Wachstumsfaktor für a > 0 bzw. Abnahmefaktor für a < 0
x = Tiefe in Meter
Da wir b kennen, können wir schreiben:
f(x) = 100 * a^x
Nun kennen wir ein Wertepaar: in 1,8 m haben wir noch 75% Licht und setzen das ein:
f(1,8) = 100 * a^1,8 = 75
und lösen nach a auf:
a^1,8 = 75/100 = 3/4
nun potenzieren wir beide Seiten mit 1/ 1,8:
(a^1,8)^(1/1,8) = (3/4)^(1/1,8)
Nach der Regel:
(a^b)^c = a^(b*c) erhalten wir:
a^(1,8/1,8) = a = (3/4)^(1/1,8)
a = 0,8523
und damit lautet die Funktion:
f(x) = 100 * 0,8523^x
Probe:
100 * 0,8523^1,8 = 75
stimmt also.
Nun stellen wir die Wertetabelle auf:
und zeichnen damit den Graphen für die Funktion:
b)
Das setzen wir die n die Funktion ain und rechnen sie aus:
c)
Nun ist der Funktionswert 1% gegeben und den setzen wir in die Funktion ein:
f(x) = 1 = 100 * 0,8523^x
und lösen nach x auf:
100 * 0,8523^x = 1
0,8523^x = 0,01
da x im Exponenten steht müssen wir den Logarithmus anwenden, um das x nach vorne zu kriegen:
ln 0,8523^x = ln 0,01
x * ln 0,8523 = ln 0,01
x = ln 0,01 / ln 0,8523 = 28,86 m
d)
Annahmen:
- Die Lichtabnahme ist durch alle Tiefen gleich
..mehr fällt mir dazu auch nicht ein.
a) Gilt immer
Die Ableitung ist durch f'(x) = e^x gegeben, was für jede (reelle) Zahl x einen positiven Funktionswert liefert.
b) Es kommt darauf an
Für a > 1 ist dies wahr. Für 0 < a < 1 verläuft der Graph der Ableitungsfunktion jedoch nicht oberhalb der x-Achse, sondern unterhalb der x-Achse. Und für a = 1 verläuft der Graph der Ableitungsfunktion nicht oberhalb der x-Achse, sondern auf der x-Achse.
c) Gilt nie
f'(x) = e^x
f'(0) = e^0 = 1
g'(x) = 1
g'(0) = 1
Und 1 > 1 ist falsch.