0,5x^2+x-2,5 Bitte sehr wichtig!?

Hallo zsm,

Ich möchte versuchen diese Gleichung in eine Scheitelpunktsform bringen:

0,5x^2+x-2,5

Ich weiß dass man es mithilfe quadratischer Ergänzung lösen kann. Ich habe allerdings versucht es so zu lösen bzw. umformen. Das Problem ist, ich komme zum falschen Ergebnis wobei ich denke, dass ich doch richtig rechne, kann es mir aber nicht erklären. Ich werde 2 Rechenwege aufschreiben (ich weiß, im Prinzip ist es fast das gleiche, aber es macht schon einen Unterschied für mich ob ich es auf eigene Faust lösen möchte oder blind einem System folge).

Meine Versuchung:

1. 0,5x^2+x-2,5 | /0,5 (x^2 muss stehen, deshalb teilt man den Rest auch durch 0,5)

2. x^2+2x-5 | aus x^2+2x mache ich ein Binom.

3. (x+1)^2 -1-5 | Doch aus dem Binom verbleibt die 1, die ziehe ich von der Gegenseite (5) ab, ich meine was ich von x was wegnehme muss ich es auch bei 5 auch tun.

4. (x+1)^2-6

Scheitelpunk (-1|-6)

Nun jetzt aber alles nach Regeln der Quadratischer Ergänzung:

1. 0,5x^2+x-2,5 | /0,5
2. 0,5(x^2+2x-5) | quadratisch ergänzen
3. 0,5((x+1)^2+1-1-5) | klammer auflösen
4. 0,5(x+1)^2-3

Scheitelpunkt (-1|-3)

Wie ihr erkennt ist, ist mein S falsch. Die -6 müsste noch mit 0,5 multipliziert werden damit ich auf -3 komme. Ich verstehe aber nicht warum muss ich das tun, wenn ich am Anfang doch schon alles mit 0,5 dividiert habe, ich meine die 0,5 habe ich somit eliminiert, warum muss ich dann wieder mit 0,5 multiplizieren, es entsteht doch eine Ungleichheit??

Ich bitte um eine gute Erklärung, wäre dafür sehr sehr Dankbar.

Answer 1

[FataMorgana2010]

Du hast die 0,5 hier nicht eliminiert, du hast sie gedanklich nur ausgeklammert. Das Elminieren klappt nur dann, wenn du die Nullstellen bestimmst, nicht bei der Bestimmung der Scheitelpunkte. Warum ist das so?

Nun, im Fall der Nullstelle betrachtest du die Gleichung

0,5 x² + x - 2,5 = 0

(also die Funktionsgleichung für einen bestimmten Funktionswert, nämlich f(x) = 0)

Wenn du diese Gleichung jetzt durch 0,5 teilst, steht rechts 0 / 0,5. Das ist aber Null, egal, durch was du teilst, du musst dir also um den Faktor 0,5 keine Sorgen mehr machen, und du bekommst

x² + 2x -1 = 0

Wenn du aber die Scheitelpunktsform berechnen willst, dann betrachtest du ja die Funktionsgleichung im allgemeinen, ohne einen bestimmten Funktionswert.

f(x) = 0,5 x² + x - 2,5

Diese Gleichung willst du so umformen, dass sie eben in Scheitelpunktsform vorliegt. Teilst du also nun eine Seite durch irgendwas (hier 0,5), dann musst das auch mit der anderen Seite machen und du bekommst

2 f(x) = x² + 2x - 5.

Oder du teilst nicht die ganze Gleichung, sondern klammerst nur aus:

f(x) = 0,5 ( x² + 2x - 5 ). Das finde ich übersichtlicher und es ist auch klarer, was dann im weiteren passiert:

f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1 - 1 - 5)

f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1 - 6))

f(x) = 0,5 ((x+1)² - 6)

Jetzt muss du die äußere der beiden Klammern wieder ausmultiplizieren:

f(x) = 0,5 (x+1)² - 0,5 * 6 = 0,5 (x+1)² - 3

Und schon kannst du deinen Scheitelpunkt ablesen.

Der Unterschied zwischen den beiden Berechnungsarten ist ja, dass du die quadratische Ergänzung

in dem einen Fall auf den Term 0,5x² + x - 2,5 und

im anderen Fall auf x² + 2x - 5

anwendest. Das letzte ist einfacher, aber man darf den Faktor 0,5 im folgenden dann nicht einfach ignorieren.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Comments

[Asscactus12]

Kann ich dich noch mal um Hilfe bitten? Es geht um Eine andere Aufgabe, ich bin wieder verwirrt((((

Answer 2

[eddiefox]

Hallo,

du hast zwar schon Antworten, ich möchte aber trotzdem noch eine Erklärung hinzufügen.

Im 1. Versuch hast du den Term 0,5x^2+x-2,5 durch 0,5 geteilt. Du erhälst dann einen anderen Term. Diesen anderen Term nimmst du dann als Funktion und ermittelst von ihr den Scheitelpunkt. Du sollst aber den ursprünglichen Term, als Funktion gesehen, in einer Scheitelpunktform darstellen.

Du nimmst also eine Funktion f(x), teilt sie durch 0,5, und schreibst dann die neue Funktion g(x) := f(x)/0,5 in einer Scheitelpunktform auf.

Es soll aber f(x) in Scheitelpunktform geschrieben werden, nicht g(x).

Im 2. Versuch hast du nur 0,5 ausgeklammert. Damit bleibt der Term erhalten, er ist nur anders geschrieben, es ist aber der gleiche Term, die gleiche Funktion. Deshalb ist die zweite Rechnung richtig.

Gruß

Answer 3

[Volens]

f(x) = 0,5x² + x - 2,5  | mit Lücke aufschreiben und ausklammern
f(x) = 0,5 (x² + 2x +   ) -     - 2,5 | Halbieren, Quadrieren
f(x) = 0,5 (x² + 2x + 1²) - 0,5 - 2,5 | Binomische Regel Nr. 1
f(x) = 0,5 (x + 1)² - 3

S(-1|-3)

Was du in der Klammer addierst, musst du mit der Vorzahl 
multiplizieren und hinter der Klammer wieder subtrahieren.
Nur dann ist Gleichheit gewahrt.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Comments

[Volens]

Dividieren darf man nur Nullstellengleichungen, weil du rechts durch alles dividieren kannst, ohne die Null zu verändern. Nullstellen sind auch tatsächlich unabhängig von den Vorfaktoren, aber alle anderen Punkte nicht. Deshalb musst du ausklammern, aber dann auch richtig.

Bei Ausklammern von 0,5 erscheint in der Klammer der verdoppelte Koeffizient.
x = 1 x
Aus 1 mach 2.

Answer 4

[PeterKremsner]

Du kannst die 0.5 nicht einfach so wegbringen, es handelt sich hier um eine Funktion und keine Gleichung!

hier steht:

f(x) = 0,5x²+x-2.5

Wenn du durch 0.5 dividierst steht da:

f(x)/0.5 = x²+2x-5

Somit musst du die 0.5 irgendwann wieder auf die rechte Seite bringen denn f(x) ist nicht gleich f(x)/0.5, das was du hier bildest ist eine komplett andere Funktion und keine äquivalente Umformung.

Answer 5

[michiwien22]

Du erweiterst auf ein vollständiges Quadrat, ziehst die "falsche" Konstante ab und gibst die "richtige" dazu:

Das kann man natürlich noch schön vereinfachen, indem man den Faktor vor x heraushebt...