π fakultät mit Hand berechnen?

Kann man Γ(π+1) mit der Hand berechnen? Wenn ja, wie würde es gehen.

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Numerisch sollte es gehen. Z.B. mit der Stirling Formel die auch für recht nidrige Werte sehr nahe ans eigentliche Ergebnis kommt:

aka

$x! \approx \sqrt{2 \cdot \pi \cdot x} \cdot \left( \frac{x}{e} \right)^{x}$

Also:

$\pi! \approx \sqrt{2 \cdot \pi \cdot \pi} \cdot \left( \frac{\pi}{e} \right)^{\pi} = \sqrt{2 \cdot \pi^{2}} \cdot \pi^{\pi} \cdot e^{-\pi} = \sqrt{2 \cdot \pi^{2}} \cdot \frac{\pi^{\pi}}{G}$

$\pi! \approx \frac{\sqrt{2} \cdot \pi^{\pi + 1}}{G}$

Dabei ist e^pi = G Gelfonds Konstante. Das echte Ergebnis ist ziemlich nahe dran:

Wenn du es komplizierter willst könntest du auch die Integraldefinition nutzen oder die Relation nutzen:

Zu bedenken ist, dass die Fakultät nur für natürliche Zahlen (und die 0) definiert ist. Die Gamma Funktion ist nur eine mögliche stetige Fortsetzung für die komplexen Zahlen der Fakultät, also könntest du mit anderen Fortsetzungen andere Ergebnisse ehralten.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Comments

[IchMagGiraffen]

Das komplizierte sieht immer schöner aus, also vielen Dank!

Answer 2

[PhotonX]

Soweit ich es überblicke, spricht nichts dagegen, den Funktionswert direkt mittels der Definition als Integral zu berechnen: https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion#Definition_und_elementare_Darstellungsformen

Nachtrag: Das müsste man natürlich numerisch machen, denn für irrationale Exponenten z wird sich das integral nicht anders berechnen lassen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik