Hilfe bei Konvergenzradius Aufgabe?

Unten im Bild ist eine Konvergenzradiusaufgabe zu sehen aus dem Klausurtraining für unsere hm1 Klausur.

Der Weg über das Wurzelkriterium den Radius zu bestimmen hat mich nicht weitergebracht.

Beim Quotientenkriterium habe ich das Problem, dass ich die Fakultät nicht loswerde. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wo ich etwas übersehe. Durch Wolfram Alpha weiss ich, dass eine Lösung ohne Fakultät existiert.

Answer 1

[DerRoll]

Bei Fakultäten bietet sich immer das Quotientenkriterium an. Ich weiß nicht wie du darauf kommst dass du da "die Fakultät nicht loswirst".

$\frac{ \frac{ (n+1)!(n+1)! }{(2n+2)! } }{ \frac{ n!n! }{ (2n)! } } = \frac{ (n+1)!(n+1)! }{ n!n! } \frac{ (2n)! }{ (2n+2)! } = \frac{ 1 }{ (2n+1)((2n+2) } \to 0 \text{ für } n \to\infty$ Tante Edit sagt dass ich einen Bruchrechnungsfehler gemacht habe :-(. Das Quotientenkriterium geht gegen 0, also ist der Konvergenzradius unendlich.

Tante Edit zieht mir die Ohren lang und sagt das ich wohl beim Kürzen lernen in der Schule nicht aufgepasst habe! Die Korrektur:

$\frac{ \frac{ (n+1)!(n+1)! }{(2n+2)! } }{ \frac{ n!n! }{ (2n)! } } = \frac{ (n+1)!(n+1)! }{ n!n! } \frac{ (2n)! }{ (2n+2)! } = \frac{ (n+1)^2 }{ (2n+1)((2n+2) } = \frac{ n^2 + 2n + 1 }{4n^2 + 3n + 2) } \to \frac{ 1 }{ 4 } \text{ für } n \to\infty$ Also ist der Konvergenzradius 4. Bitte alle hier für Experten gehalten werden noch mal prüfen. Ich möchte für diese peinliche Leistung um Entschuldigung bitten :facepalm:

Answer 2

[eterneladam]

(2(n+1))! =(2n+2)(2n+1) (2n)!

Damit weiter kürzen. Was dieses Produkt soll weiss ich nicht.