Reihen und Konvergenz?
Hallo zusammen,
ist meint Ansatz richtig? oder wäre das zu einfach ;D
Zu welcher Menge sollte k gehören? Natürliche Zahl, nehme ich an. Blöde Nachfrage, sieht man an der Summe…
Ohja.. stimmt xD
Ja, entschuldige, war eine nicht durchgedachte Nachfrage. Es wird ja über k summiert. Demnach kann k nur eine natürliche Zahl sein.
Okey habe da was nicht ganz durch dacht die Harmonische Reihe Divergiert ja also Steigt der Ausdruck doch unbegrenzt? Also Divergiert die Reihe?
Gegen welchen Wert soll es denn konvergieren?
Konvergiert nicht es divergiert weil die Harmonische Reihe Divergiert und das -1 da nichts verändern kann
4 Antworten
Ganz so einfach ist es nicht. Zum ersten ist Dein Argument falsch: Σ 1/k divergiert, obwohl 1/k<1 :-(
Es gilt aber (1/k−1)≤0, also alterniert die Folge (gerade Potenzen werden positiv, ungerade bleiben negativ). Fasse die Glieder mal paarweise zusammen und schau mal, wohin diese Terme gehen.
Zur Inspiration kannst Du WolframAlpha nutzen.
Es wird mit dem Wurzelkriterium argumentiert (aber das Kriterium wird falsch benutzt)
Du hast versucht das Wurzelkriterium zu benutzen, hast aber ein Fehler gemacht.
Beim Wurzelkriterium betrachtet man lim sup |a_n|^(1/k)
In deinem Fall wird also der lim sup von |-1+1/k| = |1-1/k| bestimmt. Das Ergebnis ist hier somit 1, das Wurzelkriterium sagt also nichts aus.
Jedoch reicht hier schon das Trivialkriterium um divergenz zu zeigen, siehe die Antwort von eterneladam.
Summiert wird über (-1)^k (1-1/k)^k
Der zweite Faktor konvergiert gegen 1/e.
Es liegt somit keine Nullfolge vor und somit auch keine Konvergenz.
Summe von k = 1 bis unendlich von (-1 + 1/k)^k bedeutet ja 0^1 + (1/2)^2 + (1/3)^3 + … = 0 + 1/4 + 1/9 + … + 1/unendlich.
Würde also sagen, dass es divergiert, da die harmonische Reihe Summe von k = 1 bis unendlich von 1/k es tut.
Nein, bedeutet es nicht.
für k=3 ist der Summand beispielsweise = (-1+1/3)³ = (-2/3)³ usw
Die Klammer ist ab k=2 immer negativ, so dass aufgrund der Hochzahl das Vorzeichen der Summanden alterniert...