Wahrscheinlichkeit berechnen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge?
Kann mir jemand diese Formel so erklären, dass ich verstehe, wie es überhaupt zu der Formel kommt und warum sie gerade bei "mit Zurücklegen" und "Nichtberücksichtigung der Reihenfolge" verwendet wird?
(n+k-1)!/(k!*(n-1)!)
Gerne auch zu einer guten Erklärung verlinken. Danke!
2 Antworten
mit der angegebenen Formel wird die Anzahl der Möglichkeiten, nicht die Wahrscheinlichkeit berechnet
man erhält sie mit folgendem Ansatz:
wie sie hergleitet wird, weiß ich grad nicht
Ergänzung:
"Herleitung der Formel:
Die Herleitung dieser Formel ist bei weitem nicht so schön wie die der übrigen Modelle und wird vermutlich außer im reinen Mathestudium auch nirgends hergeleitet"
https://www.massmatics.de/merkzettel/#!881:Urnenmodell_mit_Zuruecklegen_ohne_Reihenfolge
laut Wikipedia:
Zunächst: lass mal die -1 weg, ersetze also n-1 durch n, sieht weniger kompliziert aus. Und dann mache Dir klar, dass es hier um eine Anzahl und nicht um eine Ws geht. Eine Ws kriegst Du, wenn in den Nenner diese Anzahl aller Möglichkeiten setzt und in den Zähler die Anzahl der von Dir als "günstig" oder wie auch immer betrachteten.
Nun nimm einmal an, Du hast n Plätze, auf die Du k Elemente platzieren willst, natürlich nur 1 Element pro Platz (also k≤n) . Für das erste der k Elemente hast Du n Plätze, für das 2. bleiben n-1, für das 3. n-2 usw. und für das k-te n-(k-1)=n-k+1. Das ist also die Multiplikation der Zahlen n-k+1 bis n, oder aller Zahlen von 1 bis n (=n!), wenn Du das noch durch das Produkt aller Zahlen von 1 bis n-k teilst(=(n-k)!), also n!/(n-k)!. Wenn Du nun die k Elemente alle unterscheiden könntest und unter den belegten Plätzen alle möglichen unterschiedlichen Belegungen zählst, kommst Du analog auf k! Belegungen, da ja k verschiedene Element auf den 1. belegten Platz kommen können usw. Da Du ja aber die nicht unterscheiden willst (Reihenfolge egal), musst Du noch durch diese Anzahl teilen, also n!/(k!*(n-k)!).
Allerdings muss ich jetzt gestehen, ich habe hier das Ziehen ohne Zurücklegen beschrieben, was auch Deiner Formel entspricht. Mit Zurücklegen würde hier heißen, dass jeder belegte Platz wieder frei ist für die Aufnahme eines weiteren Elementes, auf einem Platz können also mehrere Elemente platziert werden. Vergleiche mal die 4 Ziehungsarten in Kapitel 3, Ergebnismengen, in https://de.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell. Da ist eigentlich alles erschöpfend erklärt, nur braucht es eine gewisse Affinität zu mathematischer Formelsprache.