Ich nehme an, dass das komische Zeichen "x^4" bedeuten soll. Hier empfiehlt sich das Newtonverfahren nicht (Begründung s.u.).
Ausklammern geht nur, wenn das Absolutglied 0 ist. In der Beispielfunktion ist es 24 ≠ 0, fällt also flach.
Substitutionsverfahren geht vor allem dann, wenn nur zwei Exponenten vorhanden und der eine das Doppelte des andern ist, Schema:
f(x) = ax^(2n) + bx^n + c;
denn dann entsteht durch die Substitution x^n = u eine quadratische Gleichung. Es gibt auchdie komplizierten Substitutionen der Cardani-Formeln (mit der eine exakte Lösung der von dir vorgelegten Gleichung geschrieben werden könnte), aber die sind kaum praktisch gebräuchlich.
Geht bei der vorgelegten Funktion auch nicht.
Eine Polynomdivision setzt voraus, dass du schon eine Nullstelle x0 kennst, so dass du den Linearfaktor (x - x0) abdividieren kannst. Wenn du gar nichts weißt, geht es nicht.
Das (nicht erweiterte) Horner-Schema ist eine vereinfachte Form der Polynomdivision und kann dann angewendet werden, wenn diese angewendet werden kann.
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Dann gibt es den wichtigen Satz, dass das Absolutglied Produkt aller Nullstellen und des Leitkoeffizienten ist. Der Leitkoeffizient ist der Koeffizient der höchsten Potenz, also hier "1" vor x^4. Wenn der Leitkoeffizient 1 ist, ist nach dem Satz jeder ganzzahlige Teiler ein ganzzahliger Teiler des Absolutglieds. Da jenes nur endliche viele Teiler hat, kannst du die mit Einsetzen in den Funktionsterm durchprobieren, also gezielt raten (in der Hoffnung, dass etwas Passendes, d.h. eine Nullstelle, dabei ist). Bei Schulaufgaben ist das auffallend häufig der Fall. Bei der vorgelegten Funktion sind die möglichen Teiler (von 24):
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24
Sobald du einen Teiler gefunden hast, kannst du Polynomdivision (oder einfacher Horner-Schema) anwenden.
Die vorgelegte Funktion hat mehrere ganzzahlige Nullstellen, die nach diesem Verfahren gefunden werden können
pq-Formel oder abc-Formel sind immer anwendbar, wenn die Funktion quadratisch ist, oder wenn nach Ausklammern oder Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht .
Die pq-Formel ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, wenn zwei Nullstellen geraten sind und mit Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht.
Newton-Verfahren ist als "letztes Mittel" anwendbar, wenn die Funktion keine anders zu ermittelnde Nullstelle besitzt. Es liefert grundsätzlich nur einen Näherungswert, häufig aber mit wenig Aufwand einen sehr genauen.
Das Newton-Verfahren ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, aber das ist nicht vorteilhaft (weil sich die exakten Nullstellen unaufwändiger ermitteln lassen, s.o.).