Zusammenhang Ober- und Untersumme und Stammfunktion?
Hallo! Ich verstehe irgendwie nicht so ganz, wann man die Fläche unter einem Graphen anhand der Ober und untersumme bestimmt und wann man es anhand der Stammfunktion macht. Könnte mir das vielleicht jemand erklären?
2 Antworten
Mit Ober- und Untersumme nähert man sich der tatsächlichen Fläche zwischen Graph und x-Achse immer näher an, indem man die Anzahl der Rechtecke erhöht (und damit gleichzeitig deren Breite verringert).
Beim Berechnen mithilfe der Stammfunktion "treibt man das Ganze auf die Spitze" und rechnet die Fläche quasi mit unendlich vielen Rechtecken aus...
Nun wird man nicht immer eine Stammfunktion bilden können - dann bleibt nichts anderes übrig, als sich über Ober- und/oder Untersumme der genauen Fläche "ausreichend" zu nähern.
Bei Ober- und Untersumme addiert man eine bestimmte Zahl (n) Rechtecke miteinander. Diese Zahl n kann man beliebig erhöhen; umso genauer nähert man sich dem Wert unter dem Funktionsgraphen. Bei kleinen n ist die ermittelte Fläche mitunter recht ungenau (je nachdem wie "kurvig" der Graph ist). Setzt man für n "sehr große" Zahlen ein, kann man immer noch sagen "das geht aber genauer"; also rechnet man den Grenzwert für diese Summen für n->unendlich aus. Das Ergebnis ist dann (für die Fläche von 0 bis zur rechten Grenze x) die Stammfunktion F, die von diesem x abhängt. F(x) gibt dann die Fläche von f im Bereich 0 bis x an (wobei Werte unter der x-Achse subtrahiert werden).
Nicht jede integrierbare Funktion besitzt notwendigerweise auch eine Stammfunktion.
Notwendig dazu ist, dass die integrierbare Funktion f:[a,b] -> lR die Zwischenwertbedingung erfüllt.
Daher besitzen z.B. alle monotonen Funktionen f:[a,b] -> lR mit einer Sprungstelle keine Stammfunktion, obwohl diese integrierbar sind.
Inwiefern gibt es bei der Stammfunktion unendlich viele Dreiecke?