Ziegenproblem einfach nicht nachvollziehbar?
Halloo, heute haben wir in Mathe - mal wieder - das Ziegenproblem behandelt. Ich bin mittlerweile in der 11. Klasse und Mathe Leistungskurs, wo ich auch gut mitkomme - nur damit mir niemand generelle Dummheit vorwerfen kann. Allerdings konnte ich dieses Ziegenproblem nie komplett nachvollziehen, egal wer es mir erklärt hat. Ich habe mir auch schon Erklärungen zu anderen gutefrage.net Fragen durchgelesen, keine spricht mich an. Also, am Anfang beträgt die Gewinnchance auf das Auto 33%, schon klar. Der Kandidat wählt eine der drei Türen, eine Ziegentür wird geöffnet und der Kandidat darf zwischen den übrigen zwei Türen wählen. Aber dann beträgt doch wohl die Wahrscheinlichkeit für beide Türen 50%. Ich habe auch ein Beispiel mit 100 Türen gesehen; gleiches Spiel mit anderen Zahlen, die Anfangschance beträgt 1%, 98 Ziegentüren werden geöffnet und zwei bleiben übrig. Nun muss doch für jede der übrigen Türen eine Gewinnchance von 50% vorhanden sein! Warum sollte schließlich die ursprünglich gewählte Tür ihre Siegeswahrscheinlichkeit von 1% beibehalten? Die Gewinnchance dieser Tür ist doch mit dem Öffnen der 98 Türen um 49% gestiegen! Nun hat der Kandidat eben die Wahl zwischen zwei gleich wahrscheinlichen Türen. Ich würde mich sehr freuen, wenn es endlich jemand schafft, mir eine verständliche Erklärung für diese Problematik zu liefern, also Danke im voraus.
7 Antworten
Hm, ich riskiere mal einen Versuch. Wenn du eine der Türen tippst, ist es dann wahrscheinlicher, gleich die Richtige zu erwischen oder eine von den Falschen?
Logischerweise kann es dir häufiger passieren, eine Falsche erwischt zu haben (sind ja doppelt so viel). In diesem Fall (bzw. in beiden dieser Fälle, dass du eine Falsche genommen hast) hat aber der Moderator keine Wahl mehr, welche er öffnet. Er muss die andere Falsche öffnen. Deine gewählte Tür, darf er nicht nehmen, die Richtige natürlich auch nicht.
Und da es wahrscheinlicher war, dass du am Anfang eine Falsche erwischt hast, wäre es jetzt clever zu wechseln. (Also in 2 von 3 Fällen hattest du am Anfang die Falsche erwischt))
Vielleicht hilft dir diese Erklärung (ab ca. 1:40)
Entscheidend ist die Sicht desjenigen, der die Ziegentüre öffnet. Er muß IMMER eine Tür öffnen, die weder vom Kandidaten gewählt wurde, noch den Preis enthält. Er muß also wissen, wo die Tür mit dem Preis ist, und natürlich weiss er auch welche Tür der Kandidat gewählt hat.
Es wird also eine Niete entfernt, aber niemals bei der Tür die gewählt wurde, sondern nur aus den restlichen Türen. Daher steigen die Gewinnchancen bei allen anderen Türen, nur bei der gewählten Tür bleibt die gleich, weil er auch dann niemals diese Türe öffnen würde auch wenn dahinter eine Niete wäre.
Gerade diese strengen Regeln an die der Moderator sich halten muss werden meist nicht vollständig angegeben, und damit fehlt strenggenommen die Grundlage die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können.
Ziegenproblem mit 3 Türen:
Der Kandidat wählt Tür X.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tür X die Gewinntür ist, beträgt 1/3
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tür X NICHT die Gewinntür ist, beträgt 2/3
Ab jetzt werden nur DIESE 2 Möglichkeiten betrachtet:
(1) Also entweder ist Tür X die Gewinntür => Wahrsch. 1/3
(2) Oder Tür X ist NICHT die Gewinntür (also eine der beiden anderen Türen, egal welche, ist die Gewinntür) => Wahrsch 2/3
Dass jetzt eine der beiden anderen Türen geöffnet wird, das hat KEINE Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit, dass eine von diesen beiden Türen die Gewinntür ist! Diese Wahrscheinlichkeit bleibt 2/3 egal ob eine der beiden Türen auf oder zu ist!
Die Situation ist also weiterhin so, wie VOR dem Öffnen der Tür:
(1) Also entweder ist Tür X die Gewinntür => Wahrsch. 1/3
(2) Oder Tür X ist NICHT die Gewinntür => Wahrsch 2/3
Deshalb ist es für den Kandidaten günstiger, zu entscheiden, dass Tür X NICHT die Gewinntür ist, denn diese Wahrscheinlichkeit dafür beträgt nach wie vor 2/3.
Nein, das Öffnen einer (Ziegen-)Tür (durch den Moderator) ist nicht ****egal, das IST die entscheidende Zusatzinformation, die die Wechsel-Strategie zur eindeutig erfolgreicheren macht.
Wer bei seiner Wahl bleibt, der bleibt unveränderlich bei seiner 1/3 Chance. Geht man hingegen weg von der 1. Wahl und nimmt die andere verbleibende verschlossene Tür, dann wählt man die 2/3 Chance.
Es ändert sich niemals etwas an der grundsätzlichen Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Tür! Der Gewinn wird immer zufällig hinter einer der 3 Türen platziert.
Wenn du anderer Meinung bist (also dass sich an den grundsätzlichen Wahrscheinlichkeiten für eine Türe etwas ändert durch die jeweilige Moderatoraktion), dann führe das bitte genauer aus.
Wie eingangs bereits gesagt, es geht hierbei darum, sich die Zusatzinformationen (die durch das öffnen einer Ziegentüre sich offenbaren) im Sinne von Gewinnchancenoptimierung zunutze zu machen.
Anders erklärt, mit einer Art von Wahrscheinlichkeitsbaum:
Du bleibst immer bei deiner 1. Wahl. Der Moderator öffnet jeweils eine Tür. Da du nie wechselst, ergeben sich folgende mögliche Ausgänge:
Pfad A1: Du wählst Türe 1. Das Auto ist hinter Tür 1. Du gewinnst. :-)
Pfad A2: Du wählst Türe 1. Das Auto ist hinter Tür 2. Du verlierst. :-(
Pfad A3: Du wählst Türe 1. Das Auto ist hinter Tür 3. Du verlierst. :-(
Pfad B1: Du wählst Türe 2. Das Auto ist hinter Tür 1. Du verlierst. :-(
Pfad B2: Du wählst Türe 2. Das Auto ist hinter Tür 2. Du gewinnst. :-)
Pfad B3: Du wählst Türe 2. Das Auto ist hinter Tür 3. Du verlierst. :-(
Pfad C1: Du wählst Türe 3. Das Auto ist hinter Tür 1. Du verlierst. :-(
Pfad C2: Du wählst Türe 3. Das Auto ist hinter Tür 2. Du verlierst. :-(
Pfad C3: Du wählst Türe 3. Das Auto ist hinter Tür 3. Du gewinnst. :-)
Das sind die 9 möglichen Pfade. Wenn man bei der ersten Wahl immer bleibt.
Unschwer zu erkennen/zählen: man gewinnt nur in 3 Situationen, d. H. zu 3/9 = 1/3.
Nun kommt aber der wirklich wichtige Teil, die möglichen Ergebnisse der Wechsel-Strategie:
Pfad A: Auto hinter Türe 1.
A1: Du wählst Türe 1. Moderator öffnet Türe 2 oder 3. Wechsel ist Verlust. :-(
A2: Du wählst Türe 2. Moderator öffnet Türe 3. Wechsel gleich Gewinn. :-)
A3: Du wählst Türe 3. Moderator Öffnet Türe 2. Wechsel gleich Gewinn. :-)
Pfad B: Auto hin Türe 2.
B1: Du wählst Türe 1. Moderator öffnet Türe 3. Wechsel gleich Gewinn. :-)
B2: Du wählst Türe 2. Moderator öffnet Türe 1 oder 3. Wechsel ist Verlust. :-(
B3: Du wählst Türe 3. Moderator Öffnet Türe 2. Wechsel gleich Gewinn. :-)
Pfad C: Auto hin Türe 3.
C1: Du wählst Türe 1. Moderator öffnet Türe 2. Wechsel gleich Gewinn. :-)
C2: Du wählst Türe 2. Moderator öffnet Türe 1. Wechsel gleich Gewinn. :-)
C3: Du wählst Türe 3. Moderator Öffnet Türe 1 oder 2. Wechsel ist Verlust. :-(
Auch hier gibt es insgesamt 9 mögliche Pfade. Und hier sieht man ganz unzweifelhaft, dass davon ganze SECHS zum Gewinn führen, also 6/9, gekürzt 2/3.
Ein eindeutig klarer Beleg für WECHSELN.
Anstatt eine der nichtgewählten Türen zu öffnen, und dem Kandidat dann anzubieten zu wechseln, hätte er auch direkt sagen können, entweder du wählst die eine oder die anderen beiden.
Wenn der Preis hinter dem zuerst gewählten liegt, gewinnt man, wenn man nicht wechselt, wenn es hinter einem der anderen beiden liegt, gewinnt man, wenn man wechselt.
Achso, also ist das Öffnen der Tür einfach scheißegal?
Wie würde man diesen "Wahrscheinlichkeitsshift" in einem Wahrscheinlichkeitsbaum oder so sehen?