Zeigen Sie dass f(x) = exp(x)?

Hey Leute,

ich habe folgendes Aufgabe:

Folgende Funktion ist gegeben f: IR->IR(>0) ist stetig mit

• f(0) = 1
• f(1) = exp(1)
• f(x+y) = f(x) * f(y) für alle x,y in IR

Zeigen Sie dass f(x) = exp(x)

Folgendes habe ich geschrieben:

f(0) = 1 = exp(0) -> wahr

f(1) = exp(1) -> wahr

f(1+1) = exp(1)exp(1) = exp(2) = f(2) -> wahr

f(x1 + y1) = exp(1)^x * exp(1)^y = exp(x+y) = f(x+y) -> wahr

Somit währe ja f(x) = exp(x)

Mein Beweis geht doch aber nur mit x,y in IN oder?

Kann mir da jmd weiterhelfen?
Danke im Voraus

Answer 1

[mjutu]

Ich würde dies umformulieren:

f(x1 + y1) = exp(1)^x * exp(1)^y = exp(x+y) = f(x+y) -> wahr

denn bisher taucht "f(x)*f(y)" nicht auf.

f(x + y) = exp(x + y) = exp(x) * exp(y) = f(x) * f(y) -> wahr

Eine Einschränkung auf Natürliche Zahlen gibt es hier nicht.

Ich finde den Beweis allerdings seltsam. Hier wird "bewiesen", dass exp() die Funktion ist, die ihre eigene Definition erfüllt.

Comments

[Willibergi]

Ich finde den Beweis allerdings seltsam. Hier wird "bewiesen", dass exp() die Funktion ist, die ihre eigene Definition erfüllt.

Muss nicht sein. Oft definiert man exp auch einfach durch die Potenzreihe und dadurch die allgemeine Potenz.

[mjutu]

@Willibergi

Das wäre eine gute Idee!

Answer 2

[Willibergi]

Die Rückrichtung ist sowieso trivial - dass exp diese Bedingungen erfüllt, lässt sich leicht nachrechnen (das ist, was du gezeigt hast). Der Clue ist die Hinrichtung (und genau diese sollst du zeigen), also dass in diesem Fall f = exp gelten muss (und es keine andere Funktion gibt, die die Bedingungen erfüllt).

Das geht relativ einfach, wenn wir es uns für verschiedene Zahlenmengen überlegen: Zunächst ist f wegen der ersten Bedingung nicht die Nullabbildung. Wir zeigen die Implikation:

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)\Rightarrow f=\exp$

Zunächst gilt für natürliche n:

$f\left(n\right)=f\left(\sum_{i=1}^n1\right)=\prod_{i=1}^nf\left(1\right)=f\left(1\right)^n=\exp\left(n\right)$

Verallgemeinern wir das auf ganze Zahlen, so erhalten wir

$1=f\left(0\right)=f\left(n-n\right)=f\left(n\right)f\left(-n\right)\Leftrightarrow f\left(-n\right)=\frac{1}{f\left(n\right)}=\exp\left(-n\right)$

also gilt die Gleichheit für alle ganzen Zahlen. Das können wir weiter auf rationale Zahlen p/q übertragen, wobei p ganzzahlig und q natürlich ist:

$f\left(p\right)=f\left(q\frac{p}{q}\right)=f\left(\sum_{i=1}^q\frac{p}{q}\right)=f\left(\frac{p}{q}\right)^q\Leftrightarrow f\left(\frac{p}{q}\right)=f\left(p\right)^{\frac{1}{q}}=\exp\left(\frac{p}{q}\right)$

Es gilt also bereits

$f\left|_{\mathbb{Q}}=\exp\right|_{\mathbb{Q}}\Leftrightarrow\forall r\in\mathbb{Q}:f\left(r\right)=\exp\left(r\right)$

Weil f weiter nach Voraussetzung stetig ist, impliziert das bereits Gleichheit auf ganz IR (denn Q liegt dicht in IR). Wir sind fertig.

Answer 3

[berndao4]

dein Denken ist richtig, wobei die shcreibweise mit dem x1,y1 unnötig ist.

Schreib einfahc drüber:
seien x,y aus R beliebig.
und dann zeigst du die, recht trivialen, Bedingungen.

Damit hast du dann , ganz genau genommen, gezeigt dass f(x)=exp(x9 eine der Funktionen ist, die die 3 Bedingungen erfüllt.

Rein rehchnerisch und knauserishc könnte man nun aber mutmassen dass es womöglich noch weitere funktionen gibt, für die die beidngungen erfüllt werden.

irgendwie, ermutlich über einen beweis mittels widerspruch, müsste man nun zeigen dass es eben keine 2 verschiedenen funktionen gibt, die das erfüllen.

würde man also ansetzen:
seien, f1(x),f2(x) 2 voneinander unterschiedliche funktionen, die die 3 bedingungen erfüllen.

dann müsste man irgendwas machen, unter benutzung der bedingungen für die 2 funktionen, was zu einem widerspruch führt.

daraus könnte man dann shcließen dass f1 doch gleich f2 sein muss, es also nur eine solche funktion gibt. die, wie du ja shcon weißt, gleich exp(x) sein muss.

Nur wie man hier einen Widerspruch erzeugt, kann ich dir auch nicht sagen.

Aber, vorausgesetzt die Aufgabe wurde in der shcule gestellt, dann musst du vermutlich gar nicht mehr zeigen dass NUR exp(x) die bedingung erfüllt.
bzw. der Text verlangt ja auch nur dass du zeigen sollst dass f(x)=exp(x) ist, nicht dass es nur diese lösung gibt

Answer 4

[ShimaG]

Du sollst nicht zeigen, dass die Exponentialfunktion die Bedingungen erfüllt (und damit eine Lösung ist), sondern, dass das auch die einzige Lösung ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Answer 5

[Tannibi]

Nein, der Beweis gilt auch in R.

Comments

[carl1509]

Kannst du mir erklären, warum mein Beweis auch in R gilt?

[Tannibi]

@carl1509

Weil die Exponentenregeln nicht auf N beschränkt sind.

exp (x+y) = exp (x) * exp (y)

gilt auch in R.