Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des ℝ2?
Hallo,
mich würde Interessieren wie ich aus folgenden Graphiken ablesen kann, ob es sich jeweils um einen Untervektorraum des ℝ2 handelt oder nicht + die passende Begründung warum.
1 Antwort
hier mal die kriterien für nen UVR:
- Der Nullvektor der Menge ist auch im UVR enthalten
- der UVR ist abgeshclossen bzgl. Addition, also a+b aus UVR wenn a,b aus UVR
- Abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation, für v aus Menge und a aus UVR ist v*a aus UVR
Die einfahcste Variante ist wenn du einfach mal überlegst welche der 3 Kriterien in den Bildern verletzt sind.
bspw. ist e) kein Untervektorraum denn (0,0), was der Nullvektor von R^2 ist, ist nicht enthalten
h) auch nicht denn (-1,0) und (0,1) im UVR, aber
(-1,0)+(0,1)=(-1,1) nicht im UVR.
a) müsste ein UVR sein, denn alle Punkte sind vielfache von (1,-1) und (0,0) ist auch mit drin.
d) müsste auch einer sein denn jeder punkt ist entweder in der form
(-a,-b) oder (a,b) mit a,b >=0
kannst ja alle 4 kombinationsmöglichkeiten durchgehen für addition, dann sihest du dass das ergebnis immer im UVR liegt.
f) kein UVR, denn bspw. (1,1)+(1,-1)=(2,0) it nicht drin, also nicht abgeschlossen bzgl. addition.
ausserdem kannst du (1,1) nicht beliebig vervielfachen ohne aus der menge rauszukommen (vektoren strecken halt)
g) geht aus ähnlkichem grund nicht.
addiere (2,1) und (1,2) ergebnis ist wieder nicht drin.
bspw. ist auch nicht k*(1,1) für alle k drin
c) müsste lustigerweise ein UVR sein, denn nullvektor ist drin und jedes vielfache oder nullvektor+nullvektor ist wieder der nullvektor, salso drin.
passt also.
b) ist wieder keiner.
addierbarkeit ginge vielleicht, aber am skalieren scheitert es.
bspw. 5*(1,0)=(5,0) ist nicht drin.
Im Endeffekt sind also lediglich a,c und d UVR von R^2, die Anderen nicht :-)
Natürlich musst bei denen, die UVR sind, noch schön alle 3 Kriterien aufführen und beweisen :-)
Top Danke. Die Kriterien für den Untervektorraum waren mir bekannt, hatte jedoch Probleme das jetzt nachzuvollziehen wie man es am besten beweisen kann. Habs jetzt aber Verstanden :)
Bei der d)
Wähle u = (1,1) und w = (-1/2, -3) beide Vektoren sind in unserer Menge enthalten.
Die Addition ergibt:
z = u + w = (1/2, -2)
Aber dieser Vektor ist nicht in unserer Menge enthalten, d.h. es ist kein Vektorraum, da nicht abgeschlossen bezüglich Addition.
Oder liege ich falsch?