Orthogonalbasis und Orthonormalbasis berechnen?
Hi ihr Lieben,
ich benötige ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe. Die Aufgabe lautet:
Hat jemand eine Idee?
Gegeben sind die Vektoren ⃗x1 = (4,2,2) und ⃗x2 = ( 1/4, −3/4 , 1/4). Finden Sie einen
geeigneten Vektor ⃗x3, sodass die Vektoren ⃗x1, ⃗x2 und ⃗x3 eine Orthogonalbasis des
R3 bilden und geben Sie die dazugehörige Orthonormalbasis an
Ist dir das Gram Schmidt Verfahren bekannt?
Ich habe das damals schon mal angewendet.
1 Antwort
Da müssen wir uns als erstes überlegen, ob x⃗₁=(4, 2, 2) und x⃗₂=(¼, −¾, ¼) bereits orthogonal sind. Dazu berechnen wir das Skalarprodukt: x⃗₁⋅x⃗₂ = 4⋅¼−2⋅¾+2⋅¼ = 0, das paßt also. Jetzt brauchen wir nur noch einen Vektor, der auf beide orthogonal steht, und den finden wir übers Vektorprodukt: x⃗₃ = x⃗₁×x⃗₂ = (2, −½, −3½).
Falls gewünsch, kannst Du auch normieren, dazu dividierst Du jeden Vektor durch seinen Betrag: |x⃗₁|=2√6, |x⃗₂|=1/(4⋅√11) und |x⃗₃|=√(³³/₂)
Schmidt-Orthogonalisierung geht immer, wenn Du N linear unabhängige Vektoren in M≥N Dimensionen gegeben hast (Du bekommst dann eine orthogonale Basis im gleichen Unterraum wie Deine Ausgangsvektoren). In Deinem Fall kannst Du es benutzen,um x⃗₁ und x⃗₂ zu orthogonalisieren, aber das ist witzlos, weil sie bereits orthogonal sind.
Aber auf den dritten Vektor kannst Du mit dem Schmidt-Verfahren kommen, das liefert ja immer eine Basis mit gleich vielen Basisvektoren wie Anfangsvektoren. Da hilft nur das Vektorprodukt oder eine äquivalente Methode weiter. Das liefert zu N Vektoren mit N+1 Dimensionen einen Vektor, der auf alle anderen normal steht.
Sorry, da fehlt ein nicht an wesentlicher Stelle:
auf den dritten Vektor kannst Du mit dem Schmidt-Verfahren nicht kommen
Super, dankeschön. Das ist eine gute Methode, werde das jetzt mal nachrechnen. Ich habe in den Antworten gelesen, dass es auch mit dem Gram Schmidt Verfahren gehen soll.