Wwarum ist eigentlich die Ableitung von e^x auch wieder e^x?
4 Antworten
Man kann diese Beziehung über viele verschiedene Methoden her leiten. Am einfachsten ist es über die überall konvergente Potenzreihe für die Exponentialfunktion:
die (weil eben überall konvergent) gliedweise differenziert werden darf.
Da sind wir unterschiedlicher Meinung (zumindest wenn Potenzreihen bereits eingeführt sind).
Naja in der Sek 2 ist das leider selten der Fall :( und die Einfachste ist es sicherlich nicht für alle ;)
Hallo,
Du kannst es auch über eine Differentialgleichung herleiten.
Gesucht ist eine Funktion y, die mit ihrer Ableitung y' identisch ist.
Es muß also gelten; y=y'.
y'=dy/dx.
y=dy/dx.
dx nach links, y nach rechts:
1*dx=(1/y)*dy.
Integrieren:
x=ln (y).
Nach y auflösen, indem man alles zur Potenz von e erhebt:
e^x=y bzw. y=e^x.
Herzliche Grüße,
Willy
\[e' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}\]
\[[e^x]' = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}\]
\[[e^x]' = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot (e^h - 1)}{h}\]
\[[e^x]' = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}\]
Eine mögliche Definition der Eulerschen Zahl \(e\) besagt:
\(e\) ist die einzige Zahl, für die gilt \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\).
Daher:
\[[e^x]' = e^x \cdot 1 = e^x \quad \text{q.e.d.}\]
Ja dachte gutefrage formatiert Latex automatisch. Falsch gedacht.
extern schreiben , als Bild rein hier . Kannst du noch korrigieren
ableitung von e^x ist eigentlich ln(e) * e^x
aber ln(e) = 1
Die Grenzwertmethode mit h -> 0 ist immer noch die beste (plus Potenzgesetze) :D