Wurzeln mit negativen Zahlen?
Hallo, ich habe eine Aufgabe, in welcher ich x- Werte berechnen muss. Normalerweise geht es ja nicht von negativen Zahlen eine Wurzel zu ziehen. Bei der normalen Quadratwurzel hat mein Taschenrechner auch einen mathematischen Fehler angezeigt. Bei der Kubikwurzel jedoch nicht. Heißt das, ich darf negative Zahlen in eine Kubikwurzel schreiben?
Hier meine Rechnungen:
5 Antworten
Hallo,
manche mögen so etwas auch nicht. Aber wieso?
Die reelle dritte Wurzel aus (-8) ist (-2). Sie ist auch die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz (-8) ergibt. Bei Quadratwurzeln ist das anders: Die 4 z.B. kann das Quadrat von 2, aber auch von (-2) sein. Deswegen wird als Quadratwurzel der 4 nur die 2, aber nicht die (-2) definiert, damit eine Eindeutigkeit gewahrt bleibt.
Da dieses Problem bei einer dritten Wurzel nicht besteht, hätte ich keine Probleme mit einer negativen Zahl unter einer dritten Wurzel.
Auch Taschenrechner spucken klaglos dritte Wurzeln aus negativen Zahlen aus.
Herzliche Grüße,
Willy
Falls der Lehrer meckert, siehe Antwort von evtldocha. Das Minus vor die Wurzel stellen, das ist hasenrein.
Du hast recht, es gibt keine reelle Lösung für die Quadratwurzel negativer Zahlen.
Aber wozu möchtest du überhaupt die Quadratwurzel ziehen?
Gebrochenrationale Funktionen haben i.d.R. ja auch keine Nulltstellen in ihrer allgemeinen Form f(x) = 1/x.
Nullstellen sind meistens im Nenner vorhanden, welche bei dir aber 0. Grades ist.
Heißt das, ich darf negative Zahlen in eine Kubikwurzel schreiben?
... sollte man eigentlich nach Konvention nicht. Man sollte bei der Lösung einer solchen Gleichung schreiben:
Ein Taschenrechner hält sich aber unter Umständen nicht an eine Konvention der reinen Mathematik.
Man kann sonst Widersprüche konstruieren
https://www.ruhr-uni-bochum.de/mathe-wiwi/skripte/wurzel.pdf
Ja, interessant; danke für den Link. Also etwa 3. Wurzel (-8) gleich (-8)^(1/3), was noch als (-2) durchginge. Da 1/3 aber auch 2/6 ist, gibt es ab hier ein Problem:
Die sechste Wurzel aus (-8)^2 wäre 2 und nicht mehr (-2), denn (-8)^2=64 und daraus die sechste Wurzel ist eine gerade Wurzel und demnach nur als 2, nicht aber als (-2) definiert. So könnte man 2=(-2) konstruieren. Da ist es natürlich konsequent, überhaupt keine negative Zahl als Wurzel gleich welcher Art zuzulassen, jedenfalls nicht in R. Aber wie der Verfasser des Artikels selbst schreibt, spielt das im normalen Rechenalltag keine Rolle. Da ist eine dritte Wurzel eine dritte Wurzel und keine sechste Wurzel aus einer Zahl zum Quadrat.
Das Problem haben wir allgemein, steht auch gut im Artikel, mit den Potenzregeln:
-8^1 = -8. Aber ((-8)^2)^(-1/2) funktioniert dann wieder nicht.
Das Problem ist, dass (-n)² = n². Es geht also eine Information verloren. Würde man diese Information behalten, ergäben sich keine Widersprüche.
Ähnliches Problem wie beim Teilen durch 0. Da n * 0 = 0, geht eine Information verloren. Würde man sie behalten, etwa n * 0 ungleich 0 mit n ungleich 0, könnte man auch durch 0 teilen, ich las mal so einen Ansatz, ziemlich verrückt, aber pfiffig. Allerdings ist n * 0 = 0 äußerst wichtig für reelle Rechnungen, ansonsten würden viele Formeln kein Ende finden, die werden immer größer statt kürzer, ggf. gingen auch manche andere Konstruktionen nicht mehr. Dito für dieses (-1) hoch 0 = 1 hoch 0.
Die Mathematik ist offenbar nicht perfekt, der vereinfachende Informationsverlust schränkt auch wieder ein.
Aber vielleicht verstehe ich es auch nur nicht :-)
Ja , das heißt es . Es gibt eine Zahl für die gilt (Z)³ = -8 und die ist Minus 2
allerdings gibt es da die Besonderheit , die Lösung der Glg x³ = -8 zu schreiben als
Sehr interessant dieser Artikel
https://www.ruhr-uni-bochum.de/mathe-wiwi/skripte/wurzel.pdf
Eigentlich eine nicht nachvollziehbare Konvention, da die dritte Wurzel aus einer Zahl - ob positiv oder negativ - immer nur eine einzige reelle Lösung besitzt.