Wendepunkt und Extrempunkt an gleicher Stelle?
Hallo, ich soll von der Funktion f(x) = (1/6)x^3 - x^2 + 2x die Schnittpunkte, Extrempunkte und Wendepunkte berechnen. Aber jedesmal, wenn ich die zweite und erste Ableitung ausrechne, kommt x=2 heraus. Meines Wissens nach, kann es am selben Punkt keinen Wendepunkt und Extrempunkt geben. Ich habe die Funktion mal bei einem Funktionsplotter eingegeben und da wurde an der Stelle 2 nur ein Sattelpunkt angezeigt. Habe ich vielleicht falsch abgeleitet oder gerechnet?
6 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Suboptimierer/1443606504450_nmmslarge__0_0_160_160_7f828fad18ee7edb96b8daceedaeeadb.png?v=1443606506000)
Richtig, die erste Ableitung hat an der Stelle x=2 eine doppelte Nullstelle und die zweite Ableitung eine einfache.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx (1/6)x^3 - x^2 2x = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d²/dx² (1/6)x^3 - x^2 + 2x = 0
(Du musst noch das +-Zeichen ergänzen)
Schaut man sich die Funktion an, sieht man, dass sich dort ein Sattelpunkt befindet. In einem Sattelpunkt ist die Steigung 0 und der Drift ändert sich.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x) = (1/6)x^3 - x^2 + 2x
Ich rate dir, bei solchen Analysen, besonders wenn du übst, immer erst dir die Funktionen zur Visualisierung zu plotten.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Blvck/1534528664192_nmmslarge__0_0_640_640_5f9492e49fa6b687c65dd6eb92c4b822.jpg?v=1534528664000)
Bei einem Extrempunkt muss neben f'(x) = 0 auch f''(x) ≠ 0 gelten, und das ist hier nicht der Fall.
Es ist ein Sattelpunkt, da f'(x) = 0, f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Blvck/1534528664192_nmmslarge__0_0_640_640_5f9492e49fa6b687c65dd6eb92c4b822.jpg?v=1534528664000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der zusätzlichen Eigenschaft:
die Tangente hat die Steigung 0.
f '(x) = 0 und
f ''(x) = 0
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn f'(2)=0 ist, heißt das nur, dass an der Stelle 2 ein Extrempunkt sein könnte. Du suchst nun die erste Ableitung , die an der Stelle 2 nicht 0 ergibt. Ist diese Ableitungsnum.mer gerade , dann ist es ein Extrempunkt, bei dir ist das nicht der Fall, also ist es kein Extrempunkt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die 1. Ableitung ist die Steigung und die 2. Ableitung die Beugung. Wenn beides an der selben x-Stelle Null wird, hast du einen Terrassenpunkt, da es dort keine Steigung und keine Beugung gibt.
An einer Extremstelle muss die zweite Ableitung nicht null sein! Nur: wenn sie ungleich null ist (zusammen mit f´(xe)=0), dann hat f bei xe auf jeden Fall eine relative Extremstelle.
Standardgegenbeispiel: g(x) = x^4.