Graphische Ableitung?
Guten Tag,
Wie leitet man Graphisch ab. Ich weiß zwar, dass aus dem Wendepunkt ein Extrempunkt wird, sowie, dass aus einem Extrempunkt ein Nullpunkt wird, jedoch liegt mir das herausfinden der Wendestellen nicht so und zudem weiß ich nicht ob es von unendlich oder - unendlich startet.
Vielen Dank wenn ihr es mir veranschaulichen könnt.
2 Antworten
Ein Minimum ist der jeweils tiefste Punkt in jedem "Tal" des Graphen, ein Maximum der jeweils höchste Punkt auf jedem "Buckel" des Graphen. Bei Minumum und Maximum ist die Steigung (d.h. die 1. Ableitung) gleich 0.
Ein Wendepunkt ist derjenige Punkt, an dem die Steigung am steilsten (d.h. am grössten) ist. D.h. kurz vor dem Wendepunkt und kurz nach dem Wendepunkt ist der Anstieg oder der Fall der Kurve weniger steil. Wenn man einen Graphen der Ableitung einzeichnet, wäre deshalb bei den Wendepunkten im Ableitungsgraphen ein Maximum (steilster Anstieg) oder ein Minimum (steilstes Gefälle) zu zeichnen.
Hier ein Beispiel:
(b) ist ein Maximum, (d) ein Minimum.
(a) und (c) sind Wendepunkte. Die Steigung der Kurve im Bereich zwischen x=0 und dem Punkt (b) ist bei Punkt (a) am grössten (d.h. am stärksten positiv). Das Gefälle (=negative Steigung) der Kurve im Bereich zwischen Punkt (b) und Punkt (d) ist bei Punkt (c) am grössten (d.h. am stärksten negativ).
Vielleicht fragst Du Dich, warum es rechts von Punkt (d) im steil ansteigenden Graphenteil keinen Wendepunkt eingezeichnet hat. Ganz einfach deshalb, weil der Graph dort gegen unendlich geht, und das bedeutet, dass die Steigung immer steiler wird, bis unendlich steil. Das heisst, es kommt kein Punkt mehr in diesem Abschnitt, wo die Steigung irgendwann wieder abnimmt (was eben ein Wendepunkt wäre).
Für eine qualitative Ableitung (ohne wertemässig präzis zu sein, ausser vielleicht, wenn die Ableitung irgendwo gleich null ist), kann man wie folgt zeichnerisch vorgehen:
Gehe von links nach rechts jeweils den Originalgraphen durch.
Dann markiere auf der x-Achse die Punkte, wo der Originalgraph Maxima oder Minima aufweist (die Steigung ist dort null). Dann gehe nochmals von links nach rechts und suche alle Wendepunkte. Ein steilster Anstieg ergibt im Ableitungsgraphen ein lokales Maximum, ein steilstes Gefälle ein lokales Minimum. Und kommt oder geht der Originalgraph nach unendlich, gilt das auch für die Ableitung (allerdings ist bei der Ableitung darauf zu achten, ob der Graph der von +/- unendlich her kommt oder dorthin geht steigt oder fällt).
So bin ich, um diese Aufgabe zu Lösen, Schritt für Schritt vorgegangen:
1.) Originalgraph
2.) Maxima und Minima auf Originalgraph einzeichnen
3.) Punkte der 1. Ableitung für die Maxima und Minima auf der x-Achse einzeichnen
4.) Wendepunkte auf dem Originalgraphen einzeichnen
5.) Punkte der 1. Ableitung für alle Wendepunkte qualitativ einzeichnen. Qualitativ heisst, wenn ein Wendepunkt aus einer positiven Steigung resultiert, sollte die 1. Ableitung dort grösser als 0 sein, und wenn der Wendepunkt aus einer negativen Steigung resultiert (=Gefällt), sollte die 1. Ableitung dort negativ sein.
Nun die ersten paar Punkte der Ableitungsfunktion (blau) zu einer Kurve verbinden.
Was noch fehlt, ist die Fortsetzung im Bereich, wo der Originalgraph Richtung unendlich geht.
Dies holen wir noch nach:
Zeichne die Tangente zu einem Punkt, Bestimme mit einem Steigungsdreieck die Steigung und zeichne diese für die Entsprechende Stelle in den Ableitungsgrafen ein.
Das machst du dann bei jeder x stelle