Ableitung Wurzel x / x?

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, wo ich

f(x)=Wurzel x / x

3 mal ableiten muss.

Die erste Ableitung ist:  

1 geteilt durch 2 Wurzel x durch x

Kann man in der ersten Ableitung noch etwas vereinfachen, oder ist die so fertig?

Wie geht es mit den nächsten beiden Ableitungen weiter?

Vielen Dank für Antworten

Answer 1

[mihisu]

Die erste Ableitung ist:  

1 geteilt durch 2 Wurzel x durch x

Nein, das ist falsch. (Ich habe keine Ahnung, wie du darauf gekommen bist. Wenn du uns deinen Rechenweg mitteilst, wie du darauf gekommen bist, können wir dir bei der Fehlersuche helfen.)

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Hinweis: Stelle die Wurzel als Potenz dar und verwende beim Ableiten die Potenzregel...

$f(x)=x^{k}\quad \rightarrow\quad f'(x)=k\cdot x^{k-1}$

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$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^1}=x^{\frac{1}{2}-1}=x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}$

$f''(x)=-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\cdot x^{-\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{5}{2}}$

$f'''(x)=\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)\cdot x^{-\frac{5}{2}-1}=-\frac{15}{8}\cdot x^{-\frac{7}{2}}$

Bzw. kann man die Ergebnisse auch wieder mit Hilfe von Quadratwurzeln darstellen, wenn man möchte... [Das würde ich aber eher nicht machen, da es meiner Ansicht nach keine Vereinfachung ist.]

$f'(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{x}}{x^2}=\frac{-\sqrt{x}}{2\cdot x^2}$

$f''(x)=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{x}}{x^3}=\frac{3\cdot \sqrt{x}}{4\cdot x^3}$

$f'''(x)=-\frac{15}{8}\cdot x^{-\frac{7}{2}}=-\frac{15}{8}\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^4}=-\frac{15}{8}\cdot \frac{\sqrt{x}}{x^4}=\frac{-15\cdot \sqrt{x}}{8\cdot x^4}$

Answer 2

[Kwalliteht]

$\frac{\sqrt{x}}{x}=x^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot x^{-1}$

$x^{-\frac{1}{2}}$

erste Ableitung:

$-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

zweite Ableitung:

$\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}}$

dritte Ableitung:

$-\frac{15}{8}x^{-\frac{7}{2}}$