woran sieht man wieviele lösungen das gleichungssystem hat?
ich mache gerade mathe hab sogar schon eine frage dazu gestellt aber hat mitlebnicht wirklich weiter geholfen : in der aufgabe steht : wie viele loesungen hat das gleichungssystem? begruende die aussage ohne zu rechnen. a) 2x=3y+4 2x=3y-4 ich weiss nicht woran man das sieht ich hab schonmal von gaußschen algo. gehoert aber hatte ich noch nicht in der schule
4 Antworten
A. Ohne zu rechnen, lässt sich auch direkt "sehen": dass
die Gleichung a) auch die Form hat: 2x -3y = +4 und
die Gleichung b) auch die Form hat: 2x -3y = -4, hat.
Also sagen die beiden Gleichungen insgesamt aus:
+4 = 2x -3y = -4.
Ganz egal, wie groß x und y gewählt werden, ist das auf jeden Fall falsch, denn +4 und -4 sind ungleich. Also hat das Gleichungssystem keine Lösung.
B. Beispiel für den anderen Fall:
a) 2x + 3y = 4
b) 6x + 9y = 12
Hier siehst du (fast) ohne zu rechnen, dass die Gleichung b) das 3fache der Gleichung a) ist. Praktische Konsequenz: Du kannst dir ein x beliebig aussuchen und mit a) ein y so ausrechnen, dass das Paar (x,y) Gleichung a) erfüllt). Dann erfüllt dieses Paar aber auch die Gleichung b), weil dazu ja nur linke und rechte Seite von a) jeweils verdreifacht werden müssen. Weil du x beliebig wählen kannst, gibt es unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems.
C. Der Fall
a) 2x + 3y = 4
b) 6x + 9y = 13
verhält sich wieder wie A.: Wenn du ein Paar (x,y) bestimmst, dass a) erfüllt, dann erfüllt das nie b). Denn die linke Seite von b) geht wie in B. durch Verdreifachung aus der linken Seite von a) hervor, die rechte aber nicht. Also kann ein Paar (x,y), das a) erfüllt, b) nicht erfüllen, und das Gleichungssytem hat keine Lösung.
D. Wenn es um zwei Gleichungen mit zwei Variablen geht, gibt es nur die beiden beschriebenen Fälle, für die das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat:
Entweder ist eine Gleichung eine Vielfaches der anderen (Fall B.), dann hat das System unendlich viele Lösungen, oder aber
die eine Gleichung ist bis auf eine Zahl der rechten Seite ein Vielfaches der anderen (Fälle A. und C.), dann hat das System keine Lösung.
Der Vervielfachungs-Faktor muss im Allgemeinen keine natürliche Zahl sein, sondern kann auch eine beliebige andere Zahl sein.
E. Bei mehr als zwei Gleichungen und mehr als zwei Variablen funktioniert das entsprechend D., aber komplizierter: Unendlich viele Lösungen gibt es genau dann, wenn sich eine Gleichung per Additionsverfahren als Summe von Vielfachen anderer Gleichungen des Systems auffassen lässt (für drei Variablen z.B.: 2/3 mal die erste Gleichung plus (-4/5) mal die zweite ergibt die dritte).
Entsprechend gibt es keine Lösung genau dann, wenn sich eine Gleichung bis auf mindestens eine Zahl der rechten Seite als Summe von Vielfachen anderer Gleichungen des Systems auffassen lässt.
F. Das Gauß-Verfahren prüft nun unter anderem auf übersichtliche Weise, ob die in E. beschriebenen Bedingungen gegeben sind. Ich könnte noch mehr dazu schreiben, aber dazu ist dann doch die Interpretation der (fest vorgegebenen) Zahlen eines Gleichungssystems als Vektorkoordinaten erforderlich (oder wenigstens sehr hilfreich). Daher wohl besser zu anderer Gelegenheit mehr darüber.
Das hat gar keine Lösung, weil bei einem +4 und beim anderen -4 steht, ohne dass sich an den Variablen was ändert.
Ich würd auch sagen keine Lösung nach umstellen und kürzen kommt raus -4=4.
das gleichungssystem dass du angegeben hast, hat keine lösung.
das gleichungssystem hat unendlich viele lösungen wenn die beiden gleichungen ident sind oder deine das vielfache der anderen ist. es hat keine lösung wenn x und y miteinaner ident oder das vielfache voneinander sind, die zahl aber nicht und sie haben gneau eine lösung wenn x oder y wegfällt und du nurnoch eines derbeiden und die zahl stehen hast.
verständlich? :-)