Woran erkennt man bei einer Funktion ob sie die x-Achse schneidet oder nur berührt?

Kann man nur machmal direkt ablesen

Parabel allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys

Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

a2>0 Parabel nach oben offen,Minumum vorhanden

a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden

also f(x)=a2*(x-xs)²+ys

a2>0 und ys=0 → doppelte Nullstelle (Graph berührt nur die x-Achse)

a2>0 und ys>0 Parabel liegt komplett über der x-Achse → keine reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)

a2<0 und ys<0 Parabel liegt komplett unterhalb der x-Achse.

kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao hat immer wenigstens 1 Nullstelle

Wenn du eine Wertetabelle hast,dann gibt es einen Vorzeichenwechsel.

Es gibt aber auch Funktionen,wo die x-Achse nur berührt wird,dann nähert sich die Funktion der x-Achse nur an und entfernt sich dann wieder → kein Vorzeichenwechsel.

Wenn der Y Wert bei den x Werten vor und nach dem Schnittpunkt das Selbe Vorzeichen hat dann wurde die x-Achse nur berührt.

Gradzahlige (doppelte, vierfache usw.) Nullstelle