Wohldefinierte Abbildungen...?
Hallo also,
Wann ist eine Abbildung wohldefiniert?
Bzw. was muss ich beweisen, damit ich die Wohldefiniertheit bewiesen habe?
Hat das was mit Injektivität, Surjektivität oder Bijektivität zu tun?
Vielen Dank schon mal !
2 Antworten
Wohldefiniertheit liegt vor, wenn ein Element nicht auf zwei unterschiedliche Elemente abgebildet wird.
Wohldefiniertheit betrachtet man normalerweise da, wo unklar ist, ob überhaupt eine Abbildung vorliegt.
Das ist mir oft in der Algebra begegnet, wo man einige skurille Abbildungen definiert.
In welchem Kontext stellst du diese Frage? Hast du vielleicht ein Bsp?
Also, ich möchte meine erste Aussage zur Wohldefiniertheit verdeutlichen.
Eine Abbildung f: X-->Y ist wohldefiniert, falls für ein Paar x, x* mit x = x* folgt, dass auch f(x) = f(x*) gilt.
Es gibt einfach einige Abbildungen, wo Elemente x selbst sich aus anderen Elementen zusammensetzen, und dass es unklar wird, ob aus x=y auch f(x) = f(y) folgern kann.
ok, also ich habe hier drei Abbildungen bei denen ich zeigen muss, dass sie wohldefiniert sind.
Es seinen: X = {1,2, ... , 10}, Y = {1, ..., 6} f : X -> Y und f(x): { x/2 für x e X gerade I (x+1)/2 für X ungerade
und jetzt zeigen, dass f(x) wohldefiniert ist...
Also ich kann sagen f(x) ist wohldefiniert, wenn für alle x e X genau ein y e Y existiert, oder? Aber wie zeige ich das jetzt?
Ok, hier ein gutes Beispiel:
betrachte die Abbildung f: Q-->Z, a/b-->a, wo Q=rationale Zahlen und Z=ganze Zahlen. a/b steht für die rationale Zahl, die sich bekanntlich als Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Die Abbildung bildet eine rationale Zahl auf ihren Zähler ab. Betrachten wir zwei Zahlen x=1/2 und x''=2/4. Diese beiden Zahlen sind in Q gleich, das heißt x=x'', aber sie setzen sich aus unterschiedlichen Zahlen zusammen (wie ich das oben geschrieben habe), deshalb ist es unklar, ob das Bild der beiden auch gleich sein wird. Der Zähler von 1/2 ist 1, der von 2/4 ist 2. Das bedeutet, die Zahl 1/2 = 2/4 wird sowohl auf 1 als auch auf 2 abgebildet. Deshalb ist diese Abbildung nicht wohldefiniert.
ok, das habe ich verstanden, danke! Ich weiß jetzt, dass mein f(x) wohldefiniert ist, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das aufschreibe...
wir das nicht durch dieses spiegelverkehrte E ! ausgedrückt? Das steht doch für "genau ein" , oder?
ohje, ich habe mich schon gar nicht mehr getraut bei mathematischen Problemen Wikipedia zu fragen ... :-D
also wäre bei X -> Y mit x² -> y für Y={4} die Urmenge X = {-2;2} ?
uff bist du schlau :-D
Also: VIELEN VIELEN DANK !!! Du hast mir wirklich wirklich geholfen! Ich wäre sonst wirklich verzweifelt und du hast mir das so erklärt, dass ich es sogar verstehe ;-)
Sobald es geht (also in 24 Stunden) gebe ich dir das Sternchen!! Wenn ich könnte, würde ich dir drei geben !
Danke nochmal!
Eine Funktion ist erst einmal "nur" eine Relation zwischen zwei Mengen, welche rechtseindeutig und linkstotal ist. Diese Rechtseindeutigkeit nennt man auch gerne mal Wohldefiniertheit. Sie besagt, dass eine Funktion ein und dasselbe Element der Definitionsmenge auch nur auf ein und dasselbe Element in der Bildmenge werfen darf.
Wohldefiniertheit muss man besonders oft zeigen, wenn es um Quotienten von Gruppen geht oder um Operationen auf Äquivalenzrelationen. Ich will dir ein Beispiel geben:
Man lernt in der Schule, dass der Bruch 1/2 dasselbe ist wie 2/4. Man kann also alle diese Brüche, die das Ergebnis 0.5 (in Dezimalschreibweise) haben, in eine einzige Klasse zusammenfassen. Diese Klasse nenne ich [(1,2)]. Hierbei steht die 1 für den Zähler und die 2 für den Nenner.
Nun habe ich repräsentativ den Bruch 1/2 in die Klasse geschrieben, sie ist aber dasselbe wie [(2,4)] oder etwa [(5,10)]. Genauso kann ich solche Klassen für jeden Bruch mit einem anderen Wert definieren in der Form [(p,q)], wobei p und q ganze Zahlen sind, q ungleich 0.
Nun kann ich eine Multiplikation von zwei Klassen definieren. Wenn wir uns an die Multiplikation von Brüchen erinnern, die ja "Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner lautet", so würde man definieren:
[(p, q)] * [(r, s)] = [(p * r, q * s)]. Das heißt:
[(1, 2)] * [(3, 4)] = [(3, 8)]. Und das stimmt ja, denn 1/2 * 3/4 = 3/8. Das Problem ist: Wer sagt mir, dass der Wert sich nicht ändert, wenn ich statt 1/2 einfach 2/4 eingesetzt hätte? Schließlich steht ja nur ein einzelner Repräsentant in der Klasse drin.
Hier gilt es die Wohldefiniertheit zu beweisen. Man nimmt sich ganz allgemein zwei Elemente aus den Klassen [(p, q)] und [(r, s)] und zeigt, dass deren Produkt tatsächlich in der Klasse [(pr, qs)] drin liegen muss.
ok, Theorie verstanden, aber wie zeige ich das schriftlich und mathematisc korrekt? in meinem Fall geht es um
Es seien: X = {1,2, ... , 10}, Y = {1, ..., 6} f : X -> Y und f(x): { x/2 für x e X gerade I (x+1)/2 für X ungerade
Ich weiß nicht, wie ich das aufschreiben muss...
also wäre x -> 3y wohldefiniert aber x² -> y nicht?