Identische Abbildung?
Hallo zsm,
kann mir das einer erklären wie es genau mit der identischen Abbildung aussieht?
bei 1) habe ich leider Verständnisproblem. Was ich genau nicht verstehe, habe ich unten gezeichnet. Also ich habe zwei Mengen X und Y gezeichnet. Die Abbildung f ist f(x)=2 x+1. So, ich weiß also wie ich von x nach y komme.
Doch was bedeutet g: Y——>X ? Ist das nicht die Inverse von f und wo ist der Zusammenhang mit identischen Abbildung?
irgendwie ist es zu abstrakt. Kann mir bitte jemand anhand des Beispiels von mir (2x+1) die injektivität und die Identität erklären?
2 Antworten
Doch was bedeutet g: Y——>X ? Ist das nicht die Inverse von f und wo ist der Zusammenhang mit identischen Abbildung?
Jein. Es ist nur die Linksinverse.
Vielleicht zwei Begrifflichkeiten: Man nennt eine Abbildung g: Y -> X Linksinverse zu f, falls
gilt. Eine Abbildung h: Y -> X heißt Rechtsinverse zu f, falls
gilt.
Linksinverse kehren f also von links um und Rechtsinverse von rechts.
Im Allgemeinen (nämlich genau dann, wenn f nicht sogar eine Bijektion ist), sind g und h verschieden. Das Resultat, das du beweisen sollst, ist also folgendes:
- f ist genau dann injektiv, wenn f eine Linksinverse hat.
- f ist genau dann surjektiv, wenn f eine Rechtsinverse hat.
- f ist genau dann bijektiv, wenn es eine Linksinverse und eine Rechtsinverse hat und diese übereinstimmen.
Du hast nun tatsächlich eine bijektive Abbildung gezeichnet, was natürlich ein Sonderfall ist, weil eine injektive Abbildung f (wie es in der Aufgabenstellung vorausgesetzt ist) im Allgemeinen nicht bijektiv ist.
Besser fährst du also mit dem Verständnis, wenn du dir die Aussage an einer echt injektiven Abbildung f überlegst (also einer Abbildung f, die injektiv, aber nicht schon bijektiv ist).
Zeichne dir also eine echt injektive Abbildung f auf und überlege dir: Warum gibt es ein g, sodass für alle x in X
gilt. Das heißt, gegeben ein y aus dem Bild f(X), warum gibt es ein eindeutiges (!) x aus X, sodass
ist? Genau dieses x gibt dir g(y). Wenn du dir das überlegt hast, bleibt nur noch zu überlegen, wie sich dieses g auf ganz Y fortsetzen lässt, denn es soll ja
abbilden und nicht nur vom Bild f(X) (was eine echte Teilmenge ist, wenn f nicht surjektiv ist). Worauf sollte g sinnvollerweise Elemente aus y abbilden, die zwar in Y liegen, aber nicht im Bild von f? (Und die gibt es, wenn f nicht auch noch surjektiv ist!)
y = 2 x + 1 ==> (y-1)/2 = g(y)
(g ° f)(x) = g(f(x)) = (f(x) - 1) / 2 = ((2x+1)-1)/2 = 2x/2 = x
(g ° f)(x) ist die identische Abbildung. Sie bildet x auf x ab.
Nö, da f(-2) = 4 und f(2)=4. Also ist f offensichtlich nicht injektiv, daher gibt es auch keine Umkehrabbildung, so dass (g°f)(x) = id.
Es sei denn, du beschränkst dich auf R+ als Definitionsmenge.
Der Satz gilt in beide Richtungen. Nicht injektiv <-> keine Umkehrabbildung
Nicht injektiv <-> keine Umkehrabbildung
Wobei man hier dazu sagen muss, dass die Umkehrabbildung hier eingeschränkt auf das Bild ist. Es ist also keine echte Inverse von ganz f (denn dafür müsste f bijektiv sein), sondern nur eine Linksinverse von f.
Denn schränkt man eine injektive Abbildung auf ihr Bild ein, wird sie surjektiv und damit bijektiv und dann existiert natürlich eine Inverse (aber eben nur von der Einschränkung und nicht von ganz f).
Also z.B. von R+ nach R+, dann ist die Umkehrfunktion zu f(x) = x² die Wurzelfunktion g(y) = √y
So ist es, dein f hier ist aber nicht nur injektiv, sondern sogar bijektiv. Injektivität allein ist notwendig, aber nicht hinreichend für Umkehrbarkeit.
Hey danke für die Erklärung. Wie sieht es mit f(x)= x^2 aus? Den hier hat man auch eine identische Abbildung.