Woher weiß man, welche Funktion über der anderen liegt?
Guten Tag, wenn man das Integral (bzw. die Fläche) berechnen soll, die zwischen zwei Graphen liegt, muss man ja im integral obere Funktion minus untere Funktion rechnen. Aber woher weiß man welche Funktion die obere und die untere ist, wenn man nur die gleichung hat und keinen graphischen Taschenrechner hat? Oder ist das egal welche Funktion man von welcher im Integral abzieht da man sowieso den Betrag nehmen muss? Ich hoffe, ihr versteht was ich meine.
6 Antworten
Nein, es muss immer die Obere Minus die Untere gerechnet werden. Dafür musst du nicht zuerst wissen, was die wahrscheinlich obere und wahrscheinlich untere ist, erst einmal brauchst du die Schnittpunkte. Denn: Ist z.B. die Aufgabenstellung, dass in einem bestimmten Intervall die Fläche(n) zwischen beiden berechnet werden soll, so ist ja nach dem Schnittpunkt die andere Funktion die Obere. Entweder ist die Funktion einfach so einfach, dass du weißt, welche oben ist, oder du führst Punktprobe(n) durch: Bei beiden Funktionen einen angemessenen x-Wert nehmen und dafür den y-Wert berechnen. Dann weißt du, welche sich weiter oben befindet.
Meine Tage von Mathe sind zwar schon etwas her und ich war auch nicht sonderlich gut, aber wäre es nicht logisch, dass in dem Fall, dass du die Funktionen vertauschst, eine negative Zahl als Ergebnis herauskäme? Da eine Fläche ja nicht negativ sein kann, könntest du daraus doch einfach schließen, dass du die Funktionen vertauscht hast. Ich weiß nicht, ob man dann einfach jedes minus "wegkürzen" kann, aber zumindest wüsstest du dann, welche Funktion oben liegt. Abgesehen davon kann man das ja bei einigen Funktionen ablesen. Das wäre mein erster Ansatz.
Ja, das wäre gewissermaßen umständlich nur um das herauszufinden. Mein erster Ansatz war wirklich immer zu schauen, ob man erkennen kann welche Funktion oben liegt. Z.b. über den Schnittpunkt mit der y-Achse oder die Steigung, insofern sich das ablesen lässt.
Aber bevor man so lange denkt macht man am besten die Punkt probe.
Ich denke wenn man das nicht innerhalb von 15 Sekunden sieht, dann ist die Punktprobe wahrscheinlich die logischere Variante. Wobei ich mich nicht daran erinnern kann jemals beim integrieren eine Punktprobe gemacht zu haben. Ich weiß echt nicht mehr genau, wie wir das gemacht haben.
in Abhängigkeit von den Werten der beiden Funktionen ist die Differenz positiv oder negativ, und das sind auch die Vorzeichen der Integrale beider Funktionen. Daran sieht man, was "oben" liegt. Der Betrag der Differenz der Integrale ist in jedem Fall die Fläche dazwischen.
Erster Schritt: Prüfen, ob im Integrationsintervall Schnittstellen sind. Wenn ja, diese als zusätzliche Integralgrenzen setzen, Beträge der Teilintegrale addieren.
Zweiteres ist richtig - es gibt keine negative Fläche.
Das heißt das ist im Prinzip egal aber warum sagen Lehrer es ist wichtig welche Funktion über der anderen ist?
Naja ich glaube weil du rechnerisch im Endeffekt nicht einfach das Minus wegstreichen kannst. Das heißt es gibt schon einen Sinn, dass man wissen muss welche Funktion oben liegt, weil du ja nicht eine negative Fläche angeben kannst. Nur so meine Theorie.
Man rechnet den Betrag aus - das ist etwas Anderes als 'rechnerisch das Minus wegstreichen'!
Komisch dass bei meiner konkreten Aufgabe trotzdem etwas negatives rauskommt obwohl ich obere minus untere Funktion gemacht habe
Also da auch Fläche unter x Achse zum Flächeninhalt gehört... Da macht man auch einfach Betrag oder
Du könntest auch einfach die x-Achse verschieben: Dann machst du die x-Achse zu dem y-Wert des Intervalls bei der unteren Funktion. Dann musst du bei beiden Funktionen nur noch das n (also das ganze hinten an der Funktion, was den Wert an der y-Achse darstellt) anpassen.
Man kann ja theoretisch in dem genannten intervall zwischen zwei Funktionen eine Punkt probe machen und gucken welcher Funktionswert über der anderen ist. Aber ist natürlich etwas umständlich.