Wo ist mein Rechenfehler (Beweis strenge Monotonie)?
Ich will beweisen, dass f(x) = x³ streng monoton ist, wie folgt.
Das ist klar für x > 0 sowie für x > z, weil dann 3x²z > 0 und 3x²z > |3xz²|. Wir betrachten also nur noch x < 0 und |x| < z bzw. -x < z. Sei hierfür z = |x| + a mit a > 0.
Wenn x < 0, dann 3x²|x| + 3x|x|² = 0, ich kann das also streichen. Es bleiben:
Wenn ich nun x = 1 = a setze, wird der Ausdruck falsch - wo ist mein Denkfehler?
2 Antworten
Zuvor nimmst du x < 0 an, was bei x = 1 nicht erfüllt ist.
Insgesamt finde ich die Vorgehensweise komplizierter als nötig.
Klammere bei der Ungleichungauf der linken Seite ein z aus und mache eine quadratische Ergänzung.
Die Ungleichung ist auch schon falsch. Für x = -1 und a = 1:
3 + 3 - 3 - 6 - 3 + 1 + 1 = - 4
Ich habe den Fehler, ich habe hinten nur |x| + a geschrieben statt (|x| + a)³
Aber so geht der (etwas umständliche, jedoch vielleicht allgemein für x hoch 2n+ 1 erweitertbare) Beweis auf.
Für positive x und z hast du ja kein Problem. Wäre es eine Idee, die Punktsymmetrie zu nutzen?
Auch nicht schlecht, Danke!
Mein Weg war ziemlich umständlich, aber er ging auch, ich hätte in der vorletzten Zeile nur (|x| + a)³ statt |x| + a schreiben müssen, dann hätte ich
-3|x|²a - 3|x|a² + |x|³ + 3|x|²a + 3|x|a² + a³ > 0 wahr, denn a>0.
Aber Punktsymmetrie dann für den ggf. allgemeinen Beweis für x hoch 2n + 1, den habe ich bislang nur durch vollständige Induktion.
In der letzten Zeile war |x| = 1 gemeint, also x = - 1, was für die letzte Zeile jedoch gleichgültig ist, da sowieso nur x im Betrag steht. Dennoch, ein Darstellungsfehler meinerseits. Dass ich bei der Gleichung durch z teilen kann (da z > 0), ist aber ein guter Hinweis, Merci!