Wenn ich einem Bereich das Monotonie-Intervall bestimme und ein Extrempunkt oder Sattelpunkt im Bereich ist ist es dann automatisch monoton anstatt streng mon.?

Streng monoton bedeutet f(y) > f(x) für y > x bei steigend bzw. f(y) < f(x) für y > x bei fallend. Dies ist auch dann erfüllt wenn ein Sattelpunkt oder am Rand ein Extremum ist. Im Inneren darf kein Extremum sein. x³ ist auf ganz ℝ streng monoton steigend. x² ist für x ≥ 0 streng monoton steigend.

Die Definition mit f(y) > f(x) bzw. f(y) < f(x) ist maßgeblich. Eine fehlende Nullstelle der Ableitung ist nur eine hinreichende Bedingung für streng monoton. Damit es nur monoton wäre, müsste die Ableitung auf einem Intervall mit positiver Länge Null sein und nicht nur in einem Punkt.