Wie viele Lösungen hat die Aufgabe?
Bestimme alle ganzen Zahlen a, b und c mit 0 < a ≤ b ≤ c derart, dass die Maßzahl des
Volumens eines Quaders, dessen Kantenlängen die Maßzahlen a, b und c haben, genauso groß
ist wie die Maßzahl der Summe aller Kantenlängen des Quaders. Die Kantenlängen werden
dabei in Zentimetern, das Volumen in Kubikzentimetern gemessen.
Ich bin auf die Lösung a=2, b=4, und c=6 gekommen.
2 Antworten
Aus abc = 4(a+b+c) hat man abc <= 12 c, also ab <= 12.
Damit ist 1 <= a <= 3.
Man kann alle drei mögliche Werte von a einsetzen und dann nach b und c prüfen. Es gibt 6 ganzzahlige Lösungen.
4a+4b+4c=abc (diese Gleichung muss erfüllt sein)
4b+4c = abc-4a (Umstellen)
4(b+c)= a(bc-4) (Ausklammern)
a=4(b+c)/(bc-4) (nochmal umgestellt)
Hier hast du eine Gleichung für a. Egal was du für b oder c einsetzt, solange du dein a dann nach dieser Gleichung konstruierst kommst du auf passende Werte. Es gibt also unendlich viele Lösungen da du unendlich viele Zahlen für b und c einsetzen kannst und es am Ende immer passen wird.
(Die Bedingung dass a<b<c ist kann man durch umbenennen der Variablen am Ende noch reinbringen)
Auch deine Werte erfüllen diese Gleichung. Sie passen also