Wieso muss man unterschiedlich ableiten?
Dann beachten wir folgende Ableitungsregel
Wieso kann diese Regel bei f'(x) (und so weiter) angewandt werden, nicht aber bei g(x) (und so weiter)?
2 Antworten
Du vergisst die Kettenregel bei den Ableitungen von g(x) mit der inneren Funktion i(x)=1-x. Damit erzeugt Nachdifferenzieren stets ein zusätzliches
Prinzipiell braucht es das auch bei den Funktionen f(x). Allerdings erzeugt das immer ein +1 und fällt deswegen nicht auf, wenn man es vergisst. Von "unterschiedlicher" Ableitung kann also keine Rede sein.
Nachtrag:
Wieso ist denn ihre Ableitung, also f' nicht mehr zusammengesetzt?
Wieso sollten die Ableitungen nicht zusammengesetzt sein? Sind sie doch (relativ triviale Zusammensetzung):
f'(x) = 1/i(x) mit i(x) = x+1
Sie wird auch bei g(x) und ihren Ableitungen angewandt. Du vergisst nur, dass du auch noch die Kettenregel brauchst, denn –x ist abgeleitet –1, also ändert sich das Vorzeichen, siehe hier:
1 / (1 – x) = (1 – x)^(–1)
Abgeleitet:
(–1) • (1 – x)^(–1–1) • (0 – 1)
= (1 – x)^(–2) = 1 / (1 – x)^2
Dabei ist (0 – 1) = –1 die innere Ableitung, also die Ableitung von (1 – x). Bei f(x) war die innere Ableitung, also die Ableitung von (x + 1), ganz einfach (1 + 0) = 1, hat also nichts geändert.
Anders formuliert:
g(x) = h(k(x)) = 1 / (1 – x)
mit h(y) = 1 / y und k(x) = 1–x.
Nach der Kettenregel gilt
g'(x) = h'(k(x)) • k'(x).
Und es ist h'(y) = –1/y^2 und k'(x) = –1, also
h'(k(x)) = –1 / (x – 1)^2 und damit
g'(x) = –1 / (x – 1)^2 • (–1) = 1 / (x – 1)^2
Aber ln(x+1) ist doch auch zusammengesetzt. Wieso ist denn ihre Ableitung, also f' nicht mehr zusammengesetzt?