Wieso muss man unterschiedlich ableiten?

Dann beachten wir folgende Ableitungsregel

Wieso kann diese Regel bei f'(x) (und so weiter) angewandt werden, nicht aber bei g(x) (und so weiter)?

Comments

[Uwe65527]

Warum meinst Du die Regel würde nicht angewandt?

[shibuyo]

Leite mal die g(x) ab. Dann leite f'(x) ab. Man kann die Funktion in die selbe Form x^-n umschreiben, aber man muss sie dennoch anders ableiten

Answer 1

[evtldocha]

Du vergisst die Kettenregel bei den Ableitungen von g(x) mit der inneren Funktion i(x)=1-x. Damit erzeugt Nachdifferenzieren stets ein zusätzliches

$i'\left(x\right)=\left(1-x\right)'\ =-1$

Prinzipiell braucht es das auch bei den Funktionen f(x). Allerdings erzeugt das immer ein +1 und fällt deswegen nicht auf, wenn man es vergisst. Von "unterschiedlicher" Ableitung kann also keine Rede sein.

Comments

[shibuyo]

Aber ln(x+1) ist doch auch zusammengesetzt. Wieso ist denn ihre Ableitung, also f' nicht mehr zusammengesetzt?

[evtldocha]

@shibuyo

Ja ist es. Und was kommt raus, wenn Du i(x) = x+1 ableitest ("nachdifferenzierst"). Genau - ein Faktor +1 (habe ich doch auch in meiner Antwort so geschrieben). Und den, wenn man weglässt, fällt es nicht auf, weil a·(+1) = a·1=a

[evtldocha]

@evtldocha

Nachtrag:

Wieso ist denn ihre Ableitung, also f' nicht mehr zusammengesetzt?

Wieso sollten die Ableitungen nicht zusammengesetzt sein? Sind sie doch (relativ triviale Zusammensetzung):

f'(x) = 1/i(x) mit i(x) = x+1

Answer 2

[TBDRM]

Sie wird auch bei g(x) und ihren Ableitungen angewandt. Du vergisst nur, dass du auch noch die Kettenregel brauchst, denn –x ist abgeleitet –1, also ändert sich das Vorzeichen, siehe hier:

1 / (1 – x) = (1 – x)^(–1)

Abgeleitet:

(–1) • (1 – x)^(–1–1) • (0 – 1)

= (1 – x)^(–2) = 1 / (1 – x)^2

Dabei ist (0 – 1) = –1 die innere Ableitung, also die Ableitung von (1 – x). Bei f(x) war die innere Ableitung, also die Ableitung von (x + 1), ganz einfach (1 + 0) = 1, hat also nichts geändert.

Anders formuliert:

g(x) = h(k(x)) = 1 / (1 – x)

mit h(y) = 1 / y und k(x) = 1–x.

Nach der Kettenregel gilt

g'(x) = h'(k(x)) • k'(x).

Und es ist h'(y) = –1/y^2 und k'(x) = –1, also

h'(k(x)) = –1 / (x – 1)^2 und damit

g'(x) = –1 / (x – 1)^2 • (–1) = 1 / (x – 1)^2

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)