Wieso darf in der Mathematik nicht durch Null geteilt werden?
Ich in der schule erst jahre lang gelernt das durch 0 teilen nicht möglich ist, und dann in der 11 klasse lernten wir das es prinzipiell schon möglich ist, das ergebnis dann aber gegen unendlich geht...
was ist den nun allgemein gültig?
21 Antworten
Weil man durch 0 einfach nicht teilen kann das ist unmöglich. Wenn in einen Raum ein Kuchen ist kann man ihn auch nicht durch 0 Leute teilen weil ja niemand im Raum ist. Wenn du im Raum wärst wäre der Kuchen durch 1 geteilt und du bekämst den ganzen. Wenn aber 0 Leute also niemand da ist kann den Kuchen auch niemand Teilen.
Auch das überzeugt nicht, denn du kannst keinen Kuchen (also Null) auch ohne Probleme an niemanden verteilen (also Null Leute), du musst dazu nicht mal wissen wie viel jeder nicht bekommt....;-)
Ich in der schule erst jahre lang gelernt das durch 0 teilen nicht möglich ist,
Das stimmt, es ist nicht möglich.
und dann in der 11 klasse lernten wir das es prinzipiell schon möglich ist, das ergebnis dann aber gegen unendlich geht...
Eine Ergebnis "geht" nicht irgendwohin. Wie sollte das auch möglich sein? Ein Ergebnis ist ein Ergebnis ist ein Ergebnis und "geht" nirgendwohin.
Es gilt vielmehr:
- 1/0 nicht definiert
- lim (x->0) 1/x = unendlich
Beim Limes "geht" kein Ergebnis irgendwohin, sondern x geht gegen 0, daher geht dann 1/x gegen unendlich, und daher ist das Ergebis des Limes unendlich. Und hier wird niemals durch 0 dividiert. Das x ist hier niemals 0, sonst wäre 1/x nicht definiert. Sondern x geht gegen 0.
Nochmal zum Mitschreiben:
- Das "unendlich" ist nicht und niemals Ergebnis einer Division, sondern (beim zweiten Fall) der Limes-Bildung.
- Das Ergebnis "geht" nirgendwohin, sondern wenn x gegen 0 geht, dann geht 1/x gegen unendlich, weswegen "unendlich" das Ergebnis des Limes ist.
- Es wird hier nirgends, nirgends, nirgends durch 0 dividiert.
- Division durch 0 ist NIEMALS erlaubt.
Dass man nicht durch 0 teilen darf.was ist den nun allgemein gültig?
Und dass man den Grenzwertbegriff verstehen sollte, wenn man ihn verwenden will - das ist, wie bei allen anderen Begriffen - natürlich auch allgemeingültig.
Man darf deswegen nicht durch Null dividieren, weil die Möglichkeit einer solchen Division zu widersprüchlichen Ergebnissen von Berechnungen führen kann.
Ein Beispiel: 0 = 0 ist eine wahre Aussage, 3·0 = 2·0 ebenfalls. Wenn man jetzt allerdings durch Null kürzen würde, käme 3 = 2 heraus, eine falsche Aussage. Man hätte also durch die Division durch Null eine wahre Aussage in eine falsche umgewandelt!
Noch ein Beispiel: 10:5 = 2, und 2·5 = 10 – logisch, das eine ist die Probe vom anderen. Bei 1:0 = x wäre aber die Probe 0·x = 1 und das geht nicht, weil keine Zahl existieren kann, die mit 0 multipliziert etwas Anderes als 0 ergibt!
Die Division durch Null führt also zu paradoxen Situationen, es würde ein Zulassen Berechnungen unmöglich beziehungsweise, salopp formuliert, die Mathematik kaputt machen. Eine Division durch Null ist logisch widersinnig, und daher ausgeschlossen.
PS: Die Aussage 1:0 = ∞ ist mit Vorsicht zu genießen. Lehrkräfte, die einem sowas sagen, verwirren einen eher. Das Ganze hat nämlich etwas mit Infinitesimalrechnung zu tun, der Nuller in diesem 1:0 ist kein „echter“ Nuller, sondern ein unendlich kleiner, aber dennoch vorhandener Wert … aber das würde hier zu weit führen, man mache sich also keine Gedanken darüber, die Division durch Null ist prinzipiell unmöglich, und aus.
Division beantwortet die Frage, mit welcher Zahl (Faktor) man eine gegebene Zahl (hier: Null) malnehmen muß, um das Produkt zu erhalten. Offensichtlich gibt es keine Zahl, die mit Null multipliziert ein anderes Ergebnis als Null hat. Daher ist die Division durch Null nicht definiert und auch nicht sinnvoll. Das hat nichts mit Verboten, sondern mit mathematischer Korrektheit und (im weiteren Sinne) Logik zu tun.
Da die meisten in diesem Chat auch über Grenzwerte sprechen, hier noch ein Vorschlag:
Betrachtet die Folge 1/n für ein n das gegen Unendlich strebt.
Dann ist der Grenzwert sicher Null.
Wenn du nun eine feste Zahl, sagen wir 5 durch diese Folge teilst, so wird 5/(1/n) gegen Unendlich streben (oder divergieren).
Wenn du aber die Folge 2/n durch die Folge 1/n teilst, so konvergieren zwar beide Folgen gegen Null, aber der Quotient von (2/n)/(1/n) konvergiert ganz offensichtlich gegen den Wert 2.
Nur im Sinne dieser Grenzwertbetrachtungen lernst du in der 11ten Klasse für das Verständnis des Differentialquotienten eine Betrachtung von "Null durch Null" kennen. Was natürlich nicht in dem Sinne gemeint ist, dass die reelle Zahl Null durch die reelle Zahl Null geteilt wird.
Aber - und das ist schon ein erster Hinweis auf die Zulässigkeit der Überlegungen - Null ist prinzipiell durch Null teilbar. Anschaulich kann Nichts auch an niemanden verteilt werden.