Gedankenspiel, was wenn ich 1 unendlich oft durch eine Zahl dividiere?
Nehmen wir an, ich teile die zahl eins unendlich oft durch eine Zahl (z.B. 2). Dann kann doch das Ergebnis nie Null werden, oder?
Jedoch gibt es dazu ein Beispiel aus dem Alltag, und zwar wenn ich jemanden eine Ohrfeige gebe. Da wird der Abstand ja auch unendlich oft halbiert, das heißt es existiert immer ein Abstand, aber irgendwann berührt doch meine Hand das Gesicht?
Was denkt ihr darüber?
10 Antworten
Ich wollte die Thinkfunktion Fonds grok ausprobieren, da hab ich einfsch mal deine Frage genommen. Zuerst die Antwort die ich bekommen hab und danach die gedankenschritte die grok im Hintergrund innerhalb von 30 sekunden unternommen hat. Sie bitte nicht sauer das ich deine frage zweckentfremdet habe, ich wollte das Ergebnis aber auch nicht verschweigen da ich ja deine frage genommen habe
Hier die direkte Antwort:
Lassen Sie uns Ihr Gedankenspiel Schritt für Schritt betrachten. Sie stellen zwei interessante Fragen: Was passiert, wenn man die Zahl 1 unendlich oft durch eine Zahl wie 2 dividiert, und wie das mit dem Beispiel einer Ohrfeige zusammenhängt, bei der der Abstand unendlich oft halbiert wird, die Hand aber trotzdem das Gesicht berührt. Ich werde beide Aspekte klar und verständlich erklären.Teilen der Zahl 1 unendlich oft durch 2Wenn Sie die Zahl 1 unendlich oft durch 2 teilen, entsteht eine mathematische Folge. Schauen wir uns das an:Start: ( 1 )Nach 1. Division: ( \frac{1}{2} = 0{,}5 )Nach 2. Division: ( \frac{1}{4} = 0{,}25 )Nach 3. Division: ( \frac{1}{8} = 0{,}125 )Allgemein nach ( n ) Divisionen: ( \frac{1}{2^n} )Diese Folge wird immer kleiner: ( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots ). Für jedes endliche ( n ) ist das Ergebnis größer als 0, also nie exakt Null. Zum Beispiel:( n = 10 ): ( \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \approx 0{,}000976563 )( n = 20 ): ( \frac{1}{2^{20}} \approx 0{,}000000953674 )Je größer ( n ) wird, desto kleiner wird der Wert, aber er bleibt positiv. In der Mathematik betrachten wir, was passiert, wenn ( n ) gegen Unendlich geht. Das nennt man den Grenzwert:[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 ]Das bedeutet: Das Ergebnis nähert sich 0 beliebig an, wird aber für ein endliches ( n ) nie exakt 0. Ihr Gedanke ist also richtig – bei jedem endlichen Schritt bleibt ein winziger Rest übrig. Erst im Grenzwert, also bei unendlich vielen Schritten, erreichen wir mathematisch gesehen 0.Das Beispiel mit der OhrfeigeJetzt zum Alltagsbeispiel: Sie geben jemandem eine Ohrfeige, und der Abstand zwischen Ihrer Hand und dem Gesicht wird unendlich oft halbiert. Das klingt nach einem Paradoxon – wenn es immer einen Abstand gibt, wie kann die Hand das Gesicht jemals berühren? Dieses Problem erinnert an die Paradoxien des griechischen Philosophen Zenon von Elea. Lassen Sie uns das aufdröseln.Angenommen, der ursprüngliche Abstand zwischen Hand und Gesicht ist ( s ) (z. B. 1 Meter). Sie halbieren den Abstand immer wieder:Nach 1. Halbierung: ( \frac{s}{2} )Nach 2. Halbierung: ( \frac{s}{4} )Nach ( n ) Halbierungen: ( s \cdot \frac{1}{2^n} )Wie beim ersten Beispiel wird der Abstand immer kleiner und nähert sich 0 an, bleibt aber theoretisch immer positiv, solange ( n ) endlich ist. Intuitiv könnte man denken, die Hand erreicht das Gesicht nie, weil immer ein Restabstand bleibt. Doch in der Realität wissen wir: Die Hand berührt das Gesicht irgendwann. Warum?Der Schlüssel liegt in der Zeit. Stellen Sie sich vor, Ihre Hand bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf das Gesicht zu. Die Zeit, die für jede Halbierung benötigt wird, wird immer kürzer, weil die zurückzulegenden Abstände kleiner werden. Mathematisch können wir die Gesamtzeit berechnen, die nötig ist, um den ganzen Abstand zu überbrücken.Nehmen wir an, die erste Halbierung (z. B. von 1 Meter auf 0,5 Meter) dauert ( t_1 ) Sekunden. Bei konstanter Geschwindigkeit dauert die nächste Halbierung (von 0,5 auf 0,25 Meter) nur ( \frac{t_1}{2} ), dann ( \frac{t_1}{4} ), und so weiter. Die Gesamtzeit ist die Summe aller dieser Zeitabschnitte:[ t_{\text{gesamt}} = t_1 + \frac{t_1}{2} + \frac{t_1}{4} + \frac{t_1}{8} + \cdots ]Das ist eine geometrische Reihe. Die Summe einer solchen unendlichen Reihe mit dem Verhältnis ( \frac{1}{2} ) ist:[ t_{\text{gesamt}} = t_1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots\right) = t_1 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = t_1 \cdot 2 = 2 t_1 ]Das Ergebnis ist eine endliche Zeit! Obwohl es unendlich viele Halbierungen gibt, dauert der gesamte Prozess nur ( 2 t_1 ) Sekunden. In dieser endlichen Zeit hat Ihre Hand den ganzen Abstand überbrückt und das Gesicht berührt.ZusammenfassungDivision der Zahl 1: Wenn Sie 1 unendlich oft durch 2 teilen, wird das Ergebnis nie exakt 0 für eine endliche Anzahl von Schritten, sondern nähert sich 0 an. Der Grenzwert ist 0.Ohrfeige: Obwohl der Abstand theoretisch unendlich oft halbiert werden kann und immer ein winziger Rest bleibt, berührt die Hand das Gesicht nach einer endlichen Zeit. Das liegt daran, dass die Gesamtzeit für alle Halbierungen endlich ist, dank der konvergenten geometrischen Reihe.Das Paradoxon löst sich durch die Mathematik auf: Unendliche Prozesse können zu endlichen Ergebnissen führen. Ihr Gedankenspiel zeigt wunderbar, wie abstrakte Konzepte wie Grenzwerte in der realen Welt greifbar werden!
Hier die hintergrundschritte:
Dieses Gedankenspiel berührt Konzepte aus der Mathematik, insbesondere die Idee von Grenzwerten und unendlichen Prozessen. Lassen Sie uns das Beispiel mit dem Teilen durch eine Zahl und das Beispiel mit der Ohrfeige getrennt betrachten.Zuerst zum Teilen der Zahl Eins unendlich oft durch eine Zahl, z.B. durch 2. Mathematisch ausgedrückt, betrachten wir die Folge ( a_n = \frac{1}{2^n} ) für ( n = 1, 2, 3, \dots ). Für jedes endliche ( n ) ist ( a_n > 0 ), aber wenn ( n ) gegen Unendlich geht, nähert sich ( a_n ) beliebig nah an 0 an. In der Mathematik sagen wir, dass der Grenzwert von ( a_n ) für ( n \to \infty ) gleich 0 ist, geschrieben als ( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 ). Das bedeutet, dass das Ergebnis nie exakt Null wird für ein endliches ( n ), aber es kann beliebig klein gemacht werden, indem man ( n ) groß genug wählt.Nun zum Beispiel mit der Ohrfeige. Dieses Beispiel erinnert an das berühmte Paradoxon des Zenon von Elea, insbesondere das Achilles-und-die-Schildkröte-Paradoxon oder das Dichotomie-Paradoxon. Zenon argumentierte, dass Bewegung unmöglich sei, weil man, um eine Strecke zu durchlaufen, erst die Hälfte der Strecke zurücklegen müsse, dann die Hälfte der verbleibenden Strecke usw., was eine unendliche Anzahl von Schritten erfordere.In Ihrem Beispiel wird der Abstand zwischen Ihrer Hand und dem Gesicht unendlich oft halbiert. Mathematisch entspricht das einer geometrischen Reihe. Angenommen, der ursprüngliche Abstand ist ( s ), dann ist der verbleibende Abstand nach ( n ) Halbierungen ( s \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n ). Wie zuvor nähert sich dieser Wert für ( n \to \infty ) beliebig nah an 0 an.Das Paradoxon entsteht, weil es intuitiv so erscheint, als würde die Hand das Gesicht nie berühren, da es immer einen winzigen Abstand gibt. In der Realität wissen wir jedoch, dass die Hand das Gesicht irgendwann berührt. Dies liegt daran, dass die Zeit, die benötigt wird, um diese unendlich vielen Halbierungen durchzuführen, endlich ist.Betrachten wir die Zeit: Angenommen, jede Halbierung des Abstands nimmt eine Zeit ( t ) in Anspruch, die proportional zum zurückgelegten Weg ist. Aber in Wirklichkeit ist die Zeit für jede Halbierung immer kürzer, da die Geschwindigkeit konstant ist. Tatsächlich konvergiert die Gesamtzeit, die benötigt wird, um den gesamten Abstand zurückzulegen, gegen einen endlichen Wert.Mathematisch ausgedrückt: Die Gesamtzeit ( t_{\text{gesamt}} ) ist die Summe einer geometrischen Reihe. Wenn wir annehmen, dass die Zeit für die erste Halbierung ( t_1 ) ist, dann ist die Zeit für die zweite Halbierung ( \frac{t_1}{2} ), für die dritte ( \frac{t_1}{4} ), usw. Somit ist ( t_{\text{gesamt}} = t_1 + \frac{t_1}{2} + \frac{t_1}{4} + \cdots = t_1 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k ). Diese Summe ist eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert ( t_{\text{gesamt}} = t_1 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 t_1 ), was eine endliche Zeit ist.Das bedeutet, dass, obwohl es unendlich viele Schritte gibt, die Gesamtzeit, die benötigt wird, um alle diese Schritte durchzuführen, endlich ist. Daher berührt Ihre Hand das Gesicht nach einer endlichen Zeit, auch wenn der Prozess in unendlich viele Teilschritte unterteilt werden kann.Zusammenfassend:Beim Teilen der Zahl Eins unendlich oft durch 2 nähert sich das Ergebnis beliebig nah an 0 an, wird aber nie exakt 0 für ein endliches ( n ). Der Grenzwert ist jedoch 0.Im Beispiel mit der Ohrfeige berührt die Hand das Gesicht nach einer endlichen Zeit, obwohl der Prozess in unendlich viele Teilschritte unterteilt werden kann, da die Gesamtzeit für diese Schritte endlich ist.Dieses Paradoxon wird durch das Konzept der konvergenten Reihen und Grenzwerte in der Mathematik aufgelöst, das zeigt, wie unendliche Prozesse zu endlichen Ergebnissen führen können.Ja, Sie haben recht: Wenn Sie die Zahl 1 unendlich oft durch eine Zahl größer als 1 dividieren, z. B. durch 2, wird das Ergebnis nie exakt Null, sondern nähert sich Null beliebig an. Mathematisch ausgedrückt, für eine Folge wie ( a_n = \frac{1}{2^n} ), gilt ( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ), aber für jedes endliche ( n ) ist ( a_n > 0 ).Ihr Beispiel mit der Ohrfeige erinnert an das berühmte Zenon-Paradoxon, bei dem der Abstand unendlich oft halbiert wird. Obwohl der Abstand theoretisch immer kleiner wird und nie Null erreicht, berührt Ihre Hand in der Realität das Gesicht nach einer endlichen Zeit. Dies liegt daran, dass die Zeit, die für jede Halbierung benötigt wird, immer kürzer wird, und die Gesamtzeit für unendlich viele Halbierungen endlich ist.Mathematisch lässt sich dies durch eine konvergente geometrische Reihe erklären: Die Summe der Zeiten für alle Halbierungen konvergiert zu einem endlichen Wert, sodass der Prozess in endlicher Zeit abgeschlossen ist. Daher berührt Ihre Hand das Gesicht, obwohl der Abstand in unendlich vielen Schritten halbiert wird.
Das mit den zählen stimmt, dass es nie null werden kann. Und das mit der Ohrfeige liegt daran das es einfach unmöglich ist alle Schritte zu halbieren, denn irgendwann ist der Abstand so klein, dass man ihn nicht mehr halbieren kann
(Die Hand beschleunigt zwar auf dem Weg zum Gesicht, aber hier lasse ich
das mal weg, weil es ums Prinzipielle geht. Ich nehme die
Geschwindigkeit der Hand also als konstant "hoch" an.)
Der Abstand halbiert sich mit jedem Berechnungsschritt, aber die Zeit, die zwischen den Schritten vergeht, tut es auch. Du hast also einen Folge von Werten für den Abstand der Hand zum Gesicht, deren Grenzwert 0 ist. Und du hast eine weitere Folge von Werten, nämlich die Länge der betrachteten Zeitabschnitte, deren Grenzwert ebenfalls 0 ist.
Jetzt teilst du einen Grenzwert durch einen anderen. Das ist intuitiv das, was sich "richtig" anfühlt, aber in der Mathematik passieren beim Teilen (oder Multiplizieren, Addieren, ...) von Grenzwerten oft unangenehme Dinge, wenn man nicht ganz genau hinsieht, und dann wird das Ergebnis schnell falsch - hier erscheint es daher, als würde die Hand nie das Gesicht berühren.
Das Problem ist als "doppelter Grenzübergang" bekannt. Wenn du nicht die Grenzwerte für den Abstand und für die Länge des Zeitabschnitts durch einander teilst, sondern den Grenzwert des gemeinsamen Quotienten "Abstand pro Zeiteinheit" bildest, hast du wieder die konstante Geschwindigkeit der Hand - die im Ergebnis dann eben doch das Gesicht erreicht und einen nicht nur grenzwertmäßig theoretischen, sondern durchaus handfest sichtbaren Abdruck hinterlässt.
Bei deinem ersten Fall ist es ein exponentieller Zerfall, das heißt die 0 wird niemals erreicht und ist damit eine Asymptote. Bei deinem zweiten Fall (Backpfeife) ist es kein exponentieller Zerfall, das hieße nämlich, dass die Geschwindigkeit der Hand immer Weiter halbiert wird (was aber wahrscheinlich nicht der Fall ist, denn wenn man jemanden schlagen will, dann soll es ja auch weh tun) und dadurch bleibt die Geschwindigkeit gleich und der Abstand wird gleichmäßig kleiner, nicht exponentiell.
Gut nachgedacht!
Damit hast du einen Gedanken nachvollzogen, über den sich Philosophen seit Jahrhunderten den Kopf zerbrechen. Siehe Zenon-Paradoxon, Achilles und die Schildkröte, Pfeil-Paradoxon.
(In der modernen Mathematik sagt man in solchen Fällen - wenn die Betonung auf der Multiplikation/Division liegt - übrigens, dass die Folge "gegen 0 divergiert".)
Bei Produkten spricht man tatsächlich von Divergenz gegen 0. (Wir haben hier ggf. ein Produkt, das 0 ist, ohne dass ein Faktor 0 ist.)
*gegen 0 konvergiert !