Gedankenspiel, was wenn ich 1 unendlich oft durch eine Zahl dividiere?
Nehmen wir an, ich teile die zahl eins unendlich oft durch eine Zahl (z.B. 2). Dann kann doch das Ergebnis nie Null werden, oder?
Jedoch gibt es dazu ein Beispiel aus dem Alltag, und zwar wenn ich jemanden eine Ohrfeige gebe. Da wird der Abstand ja auch unendlich oft halbiert, das heißt es existiert immer ein Abstand, aber irgendwann berührt doch meine Hand das Gesicht?
Was denkt ihr darüber?
9 Antworten
Das mit den zählen stimmt, dass es nie null werden kann. Und das mit der Ohrfeige liegt daran das es einfach unmöglich ist alle Schritte zu halbieren, denn irgendwann ist der Abstand so klein, dass man ihn nicht mehr halbieren kann
(Die Hand beschleunigt zwar auf dem Weg zum Gesicht, aber hier lasse ich
das mal weg, weil es ums Prinzipielle geht. Ich nehme die
Geschwindigkeit der Hand also als konstant "hoch" an.)
Der Abstand halbiert sich mit jedem Berechnungsschritt, aber die Zeit, die zwischen den Schritten vergeht, tut es auch. Du hast also einen Folge von Werten für den Abstand der Hand zum Gesicht, deren Grenzwert 0 ist. Und du hast eine weitere Folge von Werten, nämlich die Länge der betrachteten Zeitabschnitte, deren Grenzwert ebenfalls 0 ist.
Jetzt teilst du einen Grenzwert durch einen anderen. Das ist intuitiv das, was sich "richtig" anfühlt, aber in der Mathematik passieren beim Teilen (oder Multiplizieren, Addieren, ...) von Grenzwerten oft unangenehme Dinge, wenn man nicht ganz genau hinsieht, und dann wird das Ergebnis schnell falsch - hier erscheint es daher, als würde die Hand nie das Gesicht berühren.
Das Problem ist als "doppelter Grenzübergang" bekannt. Wenn du nicht die Grenzwerte für den Abstand und für die Länge des Zeitabschnitts durch einander teilst, sondern den Grenzwert des gemeinsamen Quotienten "Abstand pro Zeiteinheit" bildest, hast du wieder die konstante Geschwindigkeit der Hand - die im Ergebnis dann eben doch das Gesicht erreicht und einen nicht nur grenzwertmäßig theoretischen, sondern durchaus handfest sichtbaren Abdruck hinterlässt.
Bei deinem ersten Fall ist es ein exponentieller Zerfall, das heißt die 0 wird niemals erreicht und ist damit eine Asymptote. Bei deinem zweiten Fall (Backpfeife) ist es kein exponentieller Zerfall, das hieße nämlich, dass die Geschwindigkeit der Hand immer Weiter halbiert wird (was aber wahrscheinlich nicht der Fall ist, denn wenn man jemanden schlagen will, dann soll es ja auch weh tun) und dadurch bleibt die Geschwindigkeit gleich und der Abstand wird gleichmäßig kleiner, nicht exponentiell.
Gut nachgedacht!
Damit hast du einen Gedanken nachvollzogen, über den sich Philosophen seit Jahrhunderten den Kopf zerbrechen. Siehe Zenon-Paradoxon, Achilles und die Schildkröte, Pfeil-Paradoxon.
(In der modernen Mathematik sagt man in solchen Fällen - wenn die Betonung auf der Multiplikation/Division liegt - übrigens, dass die Folge "gegen 0 divergiert".)
Bei Produkten spricht man tatsächlich von Divergenz gegen 0. (Wir haben hier ggf. ein Produkt, das 0 ist, ohne dass ein Faktor 0 ist.)
Wie begründest du denn, dass der Abstand immer halbiert wird bei der Ohrfeige? Er wird einfach immer kleiner, bis er null ist.
Wenn man 1 unendlich mal halbiert kommt am Ende 1÷unendlich raus, was gegen 0 geht ;)
*gegen 0 konvergiert !