Wie vorgehen bei Geometrieaufgabe (Mathe-Olympiade)?
Wie würdet ihr bei folgender Fragestellung vorgehen? Ich mache gerade alte Aufgaben der Mathematik-Olympiade, komme allerdings nur schwer weiter. Kann jemand helfen?
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Für das Dreieck ABC gelte: Die Seite AC ist doppelt so lang wie die Seite BC, und es sei
| ACB| = 120◦. Die Halbierende dieses Winkels schneide die Gerade AB im Punkt D.
Zeigen Sie, dass dann |CD| = 2
3 |BC| gilt.
Das Ende sollte eigentlich lauten. CD = 2/3 BC
2 Antworten
Zeichne auf der Strecke BC eine Punkt E, so dass die Länge CE = CD ist.
Damit ist das Dreieck DEC gleichschenklig mit Winkel DCE = 60° an der Spitze.
Daraus folgt, dass dieses Dreick auch gleichseitig ist, also Strecke DE = CD und Winkel CED = 60°.
Damit ist der Winkel DEB = 120°. Weil die Dreiecke ABC und BDE auch den gleichen Winkel CBA haben, sind sie ähnlich.
Es gilt dann BE : DE = BC : AC.
Nun ist AC = 2 * BC und BE = BC - CD und DE = CD.
(BC - CD) : CD = BC : (2 * BC)
(BC - CD) : CD = 1/2
(2 * BC - 2 * CD) = CD
2 * BC = 3 * CD
CD = 2/3 * BC, was zu beweisen war.
1) AB mittels Kosinussatz in Dreieck ABC
AB = √(7) * BC
2) BD
AC / BC = AD / BD
2 = AD / BD
BD = AD / 2
BD = (1 / 3) * √(7) * BC
3) Winkel CBA = β mittels Kosinussatz in Dreieck ABC
cos(β) = (2 / 7) * √(7)
4) CD mittels Kosinussatz in Dreieck DBC
CD² = BC² + BD² - 2 * BC * BD * cos(β)
CD = (2 / 3) * BC
Das ist eine Aufgabe für die 9. Klasse. Ich glaube, die kennen den Kosinussatz noch nicht.