Mathe Geometrieaufgabe?
Hey, kann mir jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen? Ich mache sie nur als Übung. Weiß aber nicht genau, wie das gelöst werden kann.
Aufgabe: Im Kreis k sind M der Mittelpunkt, die Strecke AB ein Durchmesser und C ein Punkt auf der Kreislinie, der von A und von B verschieden ist. Das Dreieck ABC ist außerdem gleichschenklig. Der Radius MD steht außerhalb des Dreiecks ABC auf dem Durchmesser AB senkrecht.
Man beweise, dass der Inkreis des Dreiecks ABC und die Kreise, die den Durchmesser AB, den Radius MD und den Kreis k berühren, gleichen Radius haben.
3 Antworten
CB und CA sind Gleich.
Erweitern wir MA und MD damit sie genau so lang sind und verbinden dieser Erweiterungen sollten wir das gleiche Dreieck rausbekommen aka wenn sie gleich sind sollten der Kreis die Linie einmal schneiden:
Du musst also nur die Erweiterung bestimmen:
(|AM| + x)² + (|DM| + x)² = |AB|²
|AM|² + 2|AM|x + x² + |DM|² + 2|DM|x + x² = |AB|²
|AM|² + 2|AM|x + 2x² + |DM|² + 2|DM|x = |AB|²
|AM|² + |DM|² + 2|AM|x + 2x² + 2|DM|x = |AB|²
2|AM|x + 2x² + 2|DM|x = |AB|² - |AM|² - |DM|²
2x² + (2|AM| + 2|DM|)x = |AB|² - |AM|² - |DM|²
x² + (|AM| + |DM|)x = (|AB|² - |AM|² - |DM|²)/2
x = ±(sqrt(|AM| + |DM|² + 2(|AB|² - |AM|² - |DM|²)) - |AM| + |DM|)/2
Nur noch zu beweisen, dass x + |AM| = |AC| und das sollte mit den Satz den Pythagoras gehen aka ab hier solltest du es selbst schaffen.
(Ich gehe nur auf die rechte hälfte ein:)
Das die grüne Linie den Kreis berührt muss ja sein, da der Kreist immer den Punkt (r*sin(315°) | r*sin(315°)) hat. Ist x = ±(sqrt(|AM| + |DM|² + 2(|AB|² - |AM|² - |DM|²)) - |AM| + |DM|)/2 dann muss der Mittelpunkt der Erweiterten Strecken dieser Punkt sein.
Da sie sich in ihrer Position um 90° unterscheiden und einer von ihnen bei 0° und der andere bei -90° ist muss der Winkel -90°+45°=-45°≙315° sein.
Jetzt noch die Streckenlänge. Der Wäre wiederum ||Erweitert|*(sin(315°)+*sin(315°)*i)| - ||x|*(sin(315°)+*sin(315°)*i)|, was gemäß Definition einfach nur der Radius ist und somit den Punkt (r*sin(315°) | r*sin(315°)) hat.
Das habe ich jedoch nicht in meine Antwort reingeschrieben, da es das ganze unnötig kompliziert macht und man schon das ganze visuell mit einen Geodreieck sieht.
Die Strecke AM ist der Radius des großen Kreises. Wenn du die Strecke CM einzeichnest, gilt für die dasselbe.
C mittig zwischen A und BA, B und C liegen auf der Kreislinie und AB ist der Durchmesser. Mit dem Satz des Thales bedeutet das, dass bei C ein rechter Winkel (gamma) vorhanden sein muss.
Da ein Dreieck eine Winkelsumme von 180 ° hat und davon 90 ° schon auf die Kappe von gamma gehen, ist die Summe der beiden anderen Winkel 90 °. ABC ist gleichschenklig, also sind die an C grenzenden Seiten gleichlang. Die Strecke CM teilt den kleinen Kreis demnach mittig.
Demnach ist ABC spiegelsymmetrisch zur Strecke CM.
Das alles ist aus der Zeichnung problemlos erkennbar, ich wollte aber nachweisen, dass C nicht z.B. in der Nähe vom Kleinbuchstaben k sitzen könnte, sondern wirklich mittig sitzen *muss*.
Obere Teilstrecken messenIch stehe jetzt auf dem Punkt M und blicke in Richtung C, um die Länge von zwei Teilstrecken zu messen.
Die Strecke CM, also der Radius des großen Kreises, ist der Durchmesser des oberen kleinen Kreises plus die kleine Strecke von seinem oberen Schnittpunkt mit der Strecke CM (entlang der ich gerade blicke) bis zum Punkt C. Diese kleine Strecke nenne ich h_m (Höhe der Mütze).
Der kleine Kreis trägt also eine dreieckige "Mütze", die durch die beiden vom Punkt C ausgehenden Tangenten und durch eine kreisbogenförmige Linie begrenzt wird.
Wie weit der Mittelpunkt des kleinen Kreises von der Spitze der Mütze entfernt ist, hängt nur vom Radius des kleinen Kreises ab, und umgekehrt definiert h_m den Radius des kleinen Kreises.
Ich halte fest: Der untere Schnittpunkt von CM mit dem kleinen Kreis ist der Punkt M, und die Mützenspitze sitzt auf dem großen Kreis.
Eine der unteren Teilstrecken messenJetzt blicke ich von M aus mitten durch einen der beiden unteren Kreise. Durch welchen spielt keine Rolle, der Aufbau ist ja symmetrisch.
Zuerst sehe ich die kurze Strecke durch die Mütze und danach den Durchmesser des kleinen Kreises. Dann bin ich auf dem großen Kreis angekommen.
Die Reihenfolge der Strecken ist vom Mittelpunkt aus gesehen also vertauscht, aber ihre Längen müssen dieselben sein, sonst wäre der große Kreis kein Kreis.
Kongruenz der drehverschobenen Formen "Kreis mit Mütze"Wenn die Längen beider Teilstrecken dieselben sind, gilt insbesondere für den Durchmesser jedes kleinen unteren Kreises, dass es derselbe sein muss wie der des oberen kleinen Kreises.
q.e.d.
Die Geraden durch A und B, M und D sowie die Tangenten durch die Berührpunkte der Kreise bilden zu dem bereits bestehenden Dreieck kongruente Dreiecke, sodass die Inkreise auch kongruent sind.
Ich kann dir nicht folgen. Warum sollen diese Dreiecke kongruent sein? Das wäre zu beweisen. (Ausserdem: "durch M und D bzw. M und D so ...."
In den anderen Antworten ist bereits genauer und eindeutiger erklärt, was gemeint ist. Ich wollte die drei Dreiecke, die kongruent sein sollen, beschreiben.
Genau: Der Hinweis ist, zu zeigen, dass die Dreiecke kongruent sind, um zu folgern, dass die Inkreise dann auch kongruent sind.
Die Dreiecke sind alle drei rechtwinklig und gleichschenklig nach Konstruktion, Thales und Symmetrie und die Höhe zur Hypothenuse ist bei allen drei der Radius. Darum sind sie kongruent.
Ich kann dir nicht folgen. (|AM| + x)² + (|DM| + x)² = |AB|² führt zu einem offensichtliche Ergebnis. Zu zeigen ist aber, dass die grüne Strecke der Länge |AB| den Kreis berührt.